Question

（20分）如圖所示，質量均為m的物體B、C分別與輕質彈簧的兩端相栓接，將它們放在傾角為θ = 30^o 的光滑斜面上，靜止時彈簧的形變量為x₀。斜面底端有固定擋板D，物體C靠在擋板D上。將質量也為m的物體A從斜面上的某點由靜止釋放，A與B相碰。已知重力加速度為g，彈簧始終處于彈性限度內，不計空氣阻力。求：

（1）彈簧的勁度系數k；

（2）若A與B相碰后粘連在一起開始做簡諧運動，當A與B第一次運動到最高點時， C對擋板D的壓力恰好為零，求C對擋板D壓力的最大值；

（3）若將A從另一位置由靜止釋放，A與B相碰后不粘連，但仍立即一起運動，且當B第一次運動到最高點時，C對擋板D的壓力也恰好為零。已知A與B相碰后彈簧第一次恢復原長時B的速度大小為，求相碰后A第一次運動達到的最高點與開始靜止釋放點之間的距離。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）3mg；（3）6.5x₀。

【解析】

試題分析：（1）物體B靜止時，彈簧形變量為x₀，彈簧的彈力F=kx₀

物體B受力如圖所示，

根據物體平衡條件得

kx₀=mgsinθ          解得彈簧的勁度系數k= （6分）

（2）A與B碰后一起做簡諧運動到最高點時，物體C對擋板D的壓力最小為0

則對C，彈簧彈力F_彈= mgsinθ，對A、B，回復力最大，F_回= 3mgsinθ   （3分）

由簡諧運動的對稱性，可知A與B碰后一起做簡諧運動到最低點時，回復力也最大，即F_回=3mgsinθ，此時物體C對擋板D的壓力最大

對物體A、B有，F_彈¢-2mgsinθ=3mgsinθ

則彈簧彈力F_彈¢ =5mgsinθ

對物體C，設擋板D對物體C的彈力為N，則N=5mgsinθ+mgsinθ=3mg

依據牛頓第三定律，物體C對擋板D的壓力N¢= N=3mg

物體C對擋板D壓力的最大值為3mg                        （3分）

（3）設物體A釋放時A與B之間距離為x，A與B相碰前物體A速度的大小為v₁。

對物體A，從開始下滑到A、B相碰前的過程，根據機械能守恒定律有            

   (解得v₁=)    ①                    （1分）

 設A與B相碰后兩物體共同速度的大小為v₂，對A與B發生碰撞的過程，根據動量守恒定律有  mv₁=（m+m）v₂   (解得v₂=)    ②            （1分）

物體B靜止時彈簧的形變量為x₀，設彈性勢能為E_P，從A、B開始壓縮彈簧到彈簧第一次恢復原長的過程，根據機械能守恒定律有

    ③         （2分）

當彈簧第一次恢復原長時A、B恰好分離，設分離后物體A還能沿斜面上升的距離為x₁。對物體A，從與B分離到最高點的過程，機械能守恒，則有

，解得x₁=1.5x₀                                            （1分）

對物體B、C和彈簧所組成的系統，物體B運動到最高點時速度為0，物體C恰好離開擋板D，此時彈簧的伸長量也為x₀，彈簧的彈性勢能也為E_P。從A、B分離到B運動到最高點的過程，由機械能守恒定律有

   (解得 E_P=)   ④            （1分）

①②③④式解得：x=9x₀                                     （1分）

由幾何關系可得，物體A第一次運動達到的最高點與開始靜止釋放點之間的距離d=x-x₁-x₀=6.5x₀。                                                （1分）

說明:以上各題用其他方法解答正確均可得分。

考點：胡克定理，機械能守恒定律，牛頓第二定律等。