Question

無風的情況下，在離地面高為H處，將質量為m的球以速度v₀水平拋出，已知球在空氣中運動時所受的阻力f=kv，v是球的速度，k是已知的常數，阻力的方向與速度方向相反，并且球在著地前已經豎直向下做勻速運動，重力加速度為g．
（1）求球剛拋出時加速度大小；
（2）求球從拋出到著地過程中克服空氣阻力做的功；
（3）若有一個與上述相同的球從同一地點由靜止釋放，試比較兩球落地所需時間和著地時的速度，并簡述理由．

Answer 1

分析：（1）小球剛拋出時的速度為v₀，可以求出小球所受阻力的大小和方向，由于小球只受重力和阻力可以求出小球所受的合力，根據牛頓第二定律可以求出小球的加速度大��；
（2）小球最終豎直方向勻速下落，根據受力平衡可以求出小球所受的阻力，再根據阻力與速度的關系可以求出小球落地速度大小，在小球落地過程中只有重力和阻力做功，已知重力做功的情況下可以求出阻力做功；
（3）根據運動的獨立性，平拋的小球在豎直方向的運動與自由落體運動的小球在豎直方向的運動情況相同，從而展開分析即可．

解答：解：（1）小球剛拋出時受到的合力  F=

m2g2+k2 v 2 0

根據牛頓第二定律可得球剛拋出時的加速度大小a=

F

m

=

m2g2+k2 v 2 0

m

（2）球最終豎直向下做勻速直線運動，設此時速度為v，則mg=kv
設球從拋出到著地過程中克服空氣阻力做的功為W，由動能定理有mgH-W=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

解得  W=mgH+

1

2

m

v

2 0

-

m3g2

2k2

（3）根據運動的獨立性，在豎直方向都是從靜止開始的運動，受到的合力均為F_y=mg-kv_y，加速度均為ay=g-

kvy

m

，故在豎直方向上的運動的情況是相同的，運動時間相等，著地時速度都是v=

mg

k

．
答：（1）小球剛拋出時的加速度大小為

m2g2+k2 v 2 0

m

；
（2）小球克服空氣阻力做功W=mgH+

1

2

m

v

2 0

-

m3g2

2k2

；
（3）小球運動時間相同，落地速度亦相同．

點評：掌握矢量合成的平行四邊形定則和分運動的獨立性是解決本題的關鍵．