Question

（14分）為了研究過山車的原理，某興趣小組提出了下列設想：取一個與水平方向夾角為37°、長為l = 2.0m的粗糙傾斜軌道AB，通過水平軌道BC與豎直圓軌道相連，出口為水平軌道DE，整個軌道除 AB 段以外都是光滑的。其AB 與BC 軌道以微小圓弧相接，如圖所示．一個小物塊以初速度＝4.0m/s從某一高處水平拋出，到A點時速度方向恰好沿 AB 方向，并沿傾斜軌道滑下．已知物塊與傾斜軌道的動摩擦因數 μ = 0.50．（g＝10 m／s²、sin37°＝ 0.60、cos37° ＝0.80）

（1）求小物塊到達A點時速度。
（2）要使小物塊不離開軌道，并從軌道DE滑出，求豎直圓弧軌道的半徑應該滿足什么條件？
（3）為了讓小物塊不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道 AB，則豎直圓軌道的半徑應該滿足什么條件？

Answer 1

（1）5m/s （2） R₁≤0.66m．（3）R₂≥1.65m．

試題分析：（1）小物塊做平拋運動，經時間 t 到達A處時，令下落的高度為h，水平分速度v₀，豎直速度為v_y，小物塊恰好沿斜面AB方向滑下，則
得v_y=3 m/s，所以小物塊到A點的速度為．
（2）物體落在斜面上后，受到斜面的摩擦力F _f=μF_N=μmgcos37°
設物塊進入圓軌道到達最高點時有最小速度v₁，此時物塊受到的重力恰好提供向心力，令此時的半徑為 R₀，
則
物塊從拋出到圓軌道最高點的過程中，根據動能定理有：．
聯立上式，解得R₀=0.66m，若物塊從水平軌道DE滑出，圓弧軌道的半徑滿足 R₁≤0.66m．
（3）為了讓小物塊不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道 AB，則物塊上升的高度須小于或等于某個值R，
則 
解得  R=1.65m
物塊能夠滑回傾斜軌道 AB，則 R₂≥1.65m．