Question

(16分)一輕質細繩一端系一質量為m＝0.05kg的小球A，另一端掛在O點，O到小球的距離為L＝0.1m，小球跟水平面接觸，但無相互作用，在球的兩側等距離處分別固定一個光滑的斜面和一個擋板，如圖所示，水平距離s＝2m．現有一滑塊B，質量也為m，從斜面上滑下，與小球發生碰撞，每次碰后，滑塊與小球速度均互換，已知滑塊與擋板碰撞時不損失機械能，水平面與滑塊間的動摩擦因數為μ＝0.25，若不計空氣阻力，并將滑塊和小球都視為質點，g取10m/s²．試問：

⑴若滑塊B從斜面某一高度h處滑下與小球第一次碰撞后，使小球恰好在豎直平面內做圓周運動，求此高度h；
⑵若滑塊B從h′＝5m處下滑與小球碰撞后，小球在豎直平面內做圓周運動，求小球做完整圓周運動的次數．

Answer 1

⑴h＝0.5m；⑵n＝10

解析試題分析：⑴小球恰能完成一次完整的圓周運動，設它到最高點的速度為v₀，在最高點由重力mg提供小球運動的向心力，根據牛頓第二定律和向心力公式有：mg＝
在小球從最低點運動到最高點的過程中，機械能守恒，并設小球此時在最低點速度為v₁，根據機械能守恒定律有：－＝2mgL
根據題意可知，滑塊滑至與小球碰撞前瞬間的速度也為v₁，在滑塊由h高度處運動至與小球相碰前瞬間的過程中根據動能定理有：mgh－μmg＝－0
聯立以上各式，并代入數據解得：h＝0.5m
滑塊與小球碰撞后將靜止不動，隨后小球運動一周后又與滑塊相撞，滑塊獲得前一次碰前的速度向右運動，與擋板碰后又無能量損失地返回與小球發生第三次碰撞，…，設滑塊最后以速度v_n碰撞小球后，剛好能使其完成第n次完整圓周運動，根據動能定理有：mgh′－μmg(n－1＋)s＝－0
根據上述分析可知：v_n＝v₁
聯立以上各式解得：n＝10
考點：本題主要考查了動能定理、機械能守恒定律、牛頓第二定律、向心力公式的應用以及臨界條件的分析能力問題，屬于中檔偏高題。