Question

如圖所示的坐標系，x軸沿水平方向，y軸沿豎直方向．在x軸上方空間的第一、第二象限內，既無電場也無磁場，在第三象限，存在沿y軸正方向的勻強電場和垂直xOy平面（紙面）向里的勻強磁場，在第四象限，存在沿y軸負方向、場強大小與第三象限電場場強相等的勻強電場．一質量為m、電荷量為q的帶電質點，從y軸上y=h處的P₁點以一定的水平初速度沿x軸負方向進入第二象限，然后經過x軸上x=-2h處的P₂點進入第三象限，帶電質點恰好能做勻速圓周運動，之后經過y軸上y=-2h處的P₃點進入第四象限．已知重力加速度為g．試求：
（1）粒子到達P₂點時速度的大小和方向；
（2）第三象限空間中電場強度和磁感應強度的大��；
（3）帶電質點在第四象限空間運動過程中最小速度的大小和方向；
（4）質點從P₁到第四象限速度最小位置所需的時間．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子先做平拋運動，將運動分解成水平方向勻速直線運動與豎直方向自由落體運動，從而求出粒子到達P₂點時速度的大小和方向；
（2）當帶電粒子進入電場、磁場與重力場中時，重力與電場力相平衡，洛倫茲力提供向心力使其做勻速圓周運動，由平衡可得出電場強度大小，再幾何關系可求出磁感應強度大小．
（3）粒子最后粒子進入電場與重力場中時，做類斜上拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做勻減速直線運動．當豎直方向的速度減小到0．此時質點速度最小，根據速度的分解求出最小速度．
（4）所需的時間為二、三、四象限的運動之間之和．

解答：（1）軌跡如右圖所示，帶電質點從P₁到P₂，由平拋運動規律得：
h=

1

2

gt²
v₀=

2h

t

=

2gh

v_y=gt=

2gh

解得：v=

v02+vy2

=2

gh

…①
方向與x軸負方向成45°角
（2）帶電質點從P₂到P₃，重力與電場力平衡，洛倫茲力提供向心力：
Eq=mg…②
Bqv=m

v2

R

…③
（2R）²=（2h）²+（2h）²…④
由②解得：E=

mg

q

聯立①③④式得：B=

m

q

2g h

．
（3）帶電質點進入第四象限，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做勻減速直線運動．當豎直方向的速度減小到0，此時質點速度最小，即v在水平方向的分量為：v_min=vcos45°=

2gh

，方向沿x軸正方向．
（4）在第二象限平拋，運動時間為：t1=

2h g

；
在第三象限勻速圓運動，運動時間為：t2=

πR

v

=

π

2

2h g

；
在第四象限類斜拋，運動時間為：t3=

1

2

2h g

；
所以運動的總時間為為：t=

3+π

2

2h g

；
答：（1）粒子到達P₂點時速度的大小2

gh

，方向與x軸負方向成45°角；
（2）第三象限空間中電場強度和磁感應強度的大小

m

q

2g h

；
（3）帶電質點在第四象限空間運動過程中最小速度的大小

2gh

，方向沿x軸正方向；
（4）質點從P₁到第四象限速度最小位置所需的時間t=

3+π

2

2h g

．

點評：本題考查帶電粒子在場中三種運動模型：勻速圓周運動、平拋運動和類斜拋運動，考查綜合分析能力，以及空間想像的能力，做題時一邊分析一邊畫出運動軌跡，畫的運動軌跡盡量精確最好．