Question

【題目】年月，天文學家們通過觀測的數據確認了銀河系中央的黑洞“人馬座”的質量與太陽質量的倍數關系．研究發現，有一星體繞人馬座做橢圓運動，其軌道半長軸為天文單位（地球公轉軌道的半徑為一個天文單位），人馬座就處在該橢圓的一個焦點上．觀測得到星的運行周期為年．

（）若將星的運行軌道視為半徑天文單位的圓軌道，試估算人馬座的質量是太陽質量的多少倍（結果保留一位有效數字）；

（）黑洞的第二宇宙速度極大，處于黑洞表面的粒子即使以光速運動，其具有的動能也不足以克服黑洞對它的引力束縛．由于引力的作用，黑洞表面處質量為的粒子具有的勢能為（設粒子在離黑洞無限遠處的勢能為零），式中、分別表示黑洞的質量和半徑．已知引力常量，光速，太陽質量，太陽半徑，不考慮相對論效應，利用上問結果，在經典力學范圍內求人馬座的半徑與太陽半徑之比應小于多少（結果按四舍五入保留整數）．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：研究星繞人馬座A*做圓周運動，根據萬有引力提供向心力，列出等式求出人馬座A*的質量．研究地球繞太陽做圓周運動，根據萬有引力提供向心力，列出等式求出太陽的質量．根據題目提供的信息，篩選出有用的信息，結合功能關系，求出問題．

（1）設星的質量為，角速度為，周期為，根據萬有引力提供向心力得：

，又

設地球質量為，公轉軌道半徑為，周期為，根據萬有引力提供向心力得：

，又

聯立得： ，其中年， 天文單位

代入數據可得

（2）引力對粒子作用不到的地方即為無限遠，此時粒子的勢能為零．粒子在到達無限遠之前，其動能便減小為零，此時勢能仍為負值，則其能量總和小于零，則有：

由題意可知，

可得：

代入數據得：

所以：