Question

月球半徑約為地球半徑的

1

4

，月球表面重力加速度約為地球表面重力加速度的

1

6

，把月球和地球都視為質量均勻分布的球體．求：
（1）環繞地球和月球表面運行衛星的線速度之比

v地

v月

；
（2）地球和月球的平均密度之比

ρ地

ρ月

．

Answer 1

分析：（1）衛星做運動運動所需向心力由萬有引力提供，由牛頓第二定律求出兩衛星的線速度，然后再求它們的比值．
（2）星球表面的物體受到的重力等于星球對它的萬有引力，據此求出星球的質量，然后由密度公式求出星球的密度，最后求出地球與月球的平均密度之比．

解答：解：（1）物體受到的重力等于萬有引力，
即：G

Mm

R2

=mg  ①，
衛星做圓周運動的向心力由萬有引力提供，
由牛頓第二定律可得：
G

Mm

R2

=m

v2

R

    ②，
由①②解得：v=

gR

  ③，
環繞地球和月球表面運行衛星的線速度之比：

v地

v月

=

g地R地 g月R月

=2

6

：1  ④；
（2）設想將一質量為m₀的小體放在天體表面處．
由萬有引力定律可得：G

Mm0

r2

=m₀g   ⑤，
平均密度ρ=

M

4 3 πr3

   ⑥，
由⑤⑥可得，地球和月球的平均密度之比：

ρ地

ρ月

=

g地r月

g月r地

=3：2；
答：（1）環繞地球和月球表面運行衛星的線速度之比是2

6

：1；
（2）地球和月球的平均密度之比是3：2．

點評：衛星繞地球或月球做圓周運動時，萬有引力提供向心力，在解題時注意GM的代換．