Question

某游樂場過山車模型簡化為如圖所示，光滑的過山車軌道位于豎直平面內，該軌道由一段斜軌道和與之相切的圓形軌道連接而成，圓形軌道的半徑為R，可視為質點的過山車從斜軌道上某處由靜止開始下滑，然后沿圓形軌道運動．
（1）若要求過山車能通過圓形軌道最高點，則過山車初始位置相對于圓形軌道底部的高度至少要多少？
（2）考慮到游客的安全，要求全過程游客受到的支持力不超過自身重力的7倍，過山車初始位置相對于圓形軌道底部的高度h不得超過多少？

Answer 1

分析：（1）根據過山車能通過圓形軌道最高點得出在最高點的速度值，根據運動過程機械能守恒求解．
（2）過圓周最低點根據牛頓第二定律和機械能守恒求解．

解答：解：（1）設過山車總質量為M，從高度h₁處開始下滑，恰能以v₁過圓周軌道最高點．
在圓軌道最高點有：Mg=M

v12

R

…①
運動過程機械能守恒：Mgh1=2MgR+

1

2

Mv12…②
由①②式得：
h₁=2.5R                 
高度h至少要2.5R．
（2）設從高度h₂處開始下滑，過圓周最低點時速度為v₂，游客受到的支持力最大是F_N=7mg．
最低點：FN-mg=m

v22

R

…③
運動過程機械能守恒：mgh2=

1

2

mv22…④
由③④式得：
h₂=3R           
高度h不得超過3R．
答：（1）若要求過山車能通過圓形軌道最高點，則過山車初始位置相對于圓形軌道底部的高度至少是2.5R．
（2）考慮到游客的安全，要求全過程游客受到的支持力不超過自身重力的7倍，過山車初始位置相對于圓形軌道底部的高度h不得超過3R．

點評：本題考查機械能守恒及豎直面內的圓周運動，選擇合適的過程，并注意豎直面內圓周運動的臨界條件即可求解．