Question

（2011?湖南一模）如圖甲所示，在邊界MN左側存在斜方向的勻強電場E₁，在MN的右側有豎直向上、場強大小為E₂=0.4N/C的勻強電場，還有垂直紙面向內的勻強磁場B（圖甲中未畫出）和水平向右的勻強電場E₃（圖甲中未畫出），B和E₃隨時間變化的情況如圖乙所示，P₁P₂為距MN邊界2.295m的豎直墻壁，現有一帶正電微粒質量為4×10^-7kg，電量為1×10^-5C，從左側電場中距MN邊界

1

15

m的A處無初速釋放后，沿直線以1m/s速度垂直MN邊界進入右側場區，設此時刻t=0，取g=10m/s²．求：
（1）MN左側勻強電場的電場強度E₁的大小和方向（sin37°=0.6）；
（2）帶電微粒在MN右側場區中運動了1.5s時的速度；
（3）帶電微粒在MN右側場區中運動多長時間與墻壁碰撞？（

1.2

2π

≈0.19）

Answer 1

分析：（1）粒子做直線運動，故重力和電場力的合力與速度方向在一條直線上，故電場力向右上方，與電場線同方向，然后對直線加速過程運用運動學公式求解出加速度，再根據牛頓第二定律列式分析求解；
（2）帶電微粒在MN右側場區中，重力和向上的電場力平衡，故在第1秒內直線加速，根據牛頓第二定律求出加速度，再根據運動學公式求解末速度，后0.5s內做勻速圓周運動，速度大小不變；
（3）帶電微粒在MN右側場區中運動過程中，第1秒向右直線加速，接下來的半秒做勻速勻速圓周運動，再接下來的1秒向左直線加速，再下來的半秒做勻速勻速圓周運動，直到與墻壁碰撞為止，根據牛頓第二定律和運動學公式列式聯立求解即可．

解答：解：（1）設MN左側勻強電場場強為E₁，方向與水平方向夾角為θ
帶電小球受重力和電場力，由于粒子做直線運動，故電場力向右上方
沿水平方向有　 　qE₁cosθ=ma                                      
沿豎直方向有　 　qE₁sinθ=mg                                      
對水平方向的勻加速運動，根據速度位移公式，有　      
v²=2as      
代入數據可解得　　
E₁=0.5N/C                                     
θ=53°                                          
即E₁大小為0.5N/C，方向與水平向右方向夾53°角斜向上．
（2）帶電微粒在MN右側場區始終滿足　qE₂=mg                               
在0～1s時間內，帶電微粒在E₃電場中  a=

qE3

m

=

1×10-5×0.004

4×10-7

=0.1m/s²   
帶電微粒在1s時的速度大小為　 v₁=v+at=1+0.1×1=1.1m/s               
在1～1.5s時間內，帶電微粒在磁場B中運動，
周期為　T=

2πm

qB

=

2π×4×10-7

1×10-5×0.08π

=1s                                  
在1～1.5s時間內，帶電微粒在磁場B中正好作半個圓周運動；
故帶電微粒在MN右側場區中運動了1.5s時的速度大小為1.1m/s，方向水平向左．
（3）在0s～1s時間內帶電微粒前進距離　s₁=vt+

1

2

at²=1×1+

1

2

×0.1×1²=1.05m     
帶電微粒在磁場B中作圓周運動的半徑　r=

mv

qB

=

4×10-7×1.1

1×10-5×0.08π

=

1.1

2π

m　     
因為r+s₁＜2.28m，所以在1s～2s時間內帶電微粒未碰及墻壁
在2s～3s時間內帶電微粒作勻加速運動，加速度仍為　a=0.1m/s²，
在3s內帶電微粒共前進距離
s₃=vt3+

1

2

at32=1×2+

1

2

×0.1×22=2.2m                       
在3s時帶電微粒的速度大小為　v₃=v+at₃=1+0.1×2=1.2m/s
在3s～4s時間內帶電微粒在磁場B中作圓周運動的半徑r3=

mv3

qB

=

4×10-7×1.2

1×10-5×0.08π

=

1.2

2π

m=0.19m　                  
因為r₃+s₃＞2.295m，所以在4s時間內帶電微粒碰及墻壁
帶電微粒在3s以后運動情況如右圖，其中 d=2.295-2.2=0.095m             

sinθ=

d

r3

=0.5，θ=30°
所以，帶電微粒作圓周運動的時間為t3=

T3

12

=

2πm

12qB

=

2π×4×10-7

12×1×10-5×0.08π

=

1

12

s       
故帶電微粒與墻壁碰撞的時間為　t_總=3+

1

12

=

37

12

s．

點評：本題關鍵分析清楚粒子的運動規律，然后分階段運用牛頓第二定律、向心力公式和運動學公式列式求解．