Question

【題目】如圖所示，一垂直放置的高為15.0cm的圓柱形中空玻璃容器，其底部玻璃較厚，底部頂點A點到容器底平面中心B點的距離為8.0cm，底部上沿為一凸起的球冠，球心C點在A點正下方，球的半徑為1.75cm．已知空氣和容器玻璃的折射率分別是n0=1.0和n1=1.56．只考慮近軸光線成像。 已知：當λ《1時，sinλ＝λ．

(1)當容器內未裝任何液體時，求從B點發出的光線通過平凸玻璃柱，在玻璃柱對稱軸上所成的像的位置，并判斷像的虛實；

(2)當容器內裝滿折射率為1.30的液體時，求從B點發出的光線通過平凸玻璃柱的上表面折射后所成像點的位置，并判斷這個像的虛實。

Answer 1

【答案】(1) 位置在C點正上方9.75cm處或在B點正上方16.0cm處，實像(2)虛像，在C點正下方26.25cm處或在B點正下方20.0cm處

【解析】

(1)容器底部凸面兩側介質的折射率分別是n1=1.56和n0=1.0。如圖,由B點發出的經過球心C的光線BA經過頂點A后,方向不變,進入空氣中;由B點發出的與BA成α角的另一條光線BD在D點折射,設折射角為φ,并與前一條出射光線交于E點,E點即B點的像點的位置。

由折射定律和幾何關系得

nlsinθ=n0sinφ①

γ=α+θ②

φ=γ+β③

在三角形BCD和三角形CDE中,由正弦定理可得

④

　�、�

由于只考慮近軸光線成像,所以α、β、θ、φ都是小角度,①④⑤式可寫為

n1θ=n0φ　　　⑥

θ=α　　　�、�

φ=β　　⑧

由⑥⑦式可得

α+θ=φ(1+)＝0.82φ＜φ　⑨

所考慮的光線是會聚的,故所成的像為實像.由②③⑥⑦⑧式可得

將題給數據代入上式得

1.75cm=9.75cm�、�

由⑨式和題給數據得

=(8.0-1.75+9.75)cm=16.0cm⑩

B點發出的光線通過平凸玻璃柱,在玻璃柱對稱軸上所成的像點的位置在C點正上方9.75cm處或在B點正上方16.0cm處.

(2)容器底部凸面兩側介質的折射率分別是nl=1.56和n2=1.30.如圖,由B點發出的經過球心C的光線BA經過頂點A后,方向不變,進入液體中;由B點發出的與BA成α角的另一條光線BD在D點折射,設折射角為φ,并與前一條出射光線交E點,E點即B點發出的光線第一次折射后所成像點的位置.

由折射定律和幾何關系可得

nlsinθ=n2sinφ(11)

γ=α+θ(12)

γ=φ+β(13)

在三角形BCD和三角形CDE中,由正弦定理可得

(14)

(15)

由于只考慮近軸光線成像,所以α、β、θ、φ都是小角度,(11)(14)(15)式可寫為

n1θ=n2φ　(16)

θ=α　(17)

φ=β　(18)

由(16)(17)式可得

α+θ=φ(1+)＝1.07φ>φ　(19)

所考慮的光線是發散的,故所成的像為虛像.由(12)(13)(16)(17)(18)式得

將有關數據代入上式可得:

1.75cm=26.25cm(20)

由(19)式和題給數據得

=(1.75+26.25-8.0)cm=20.0cm(21)

B點發出的光線通過平凸玻璃柱,第一次折射后所成的像點的位置在C點正下方26.25cm處或在B點正下方20.0cm處.