Question

我國發射的“嫦娥一號”探月衛星沿近似于圓形的軌道繞月飛行．為了獲得月球表面全貌的信息，讓衛星軌道平面緩慢變化．衛星將獲得的信息持續用微波信號發回地球．設地球和月球的質量分別為M和m，地球和月球的半徑分別為R和R₁，月球繞地球的軌道半徑和衛星繞月球的軌道半徑分別為r和r₁，月球繞地球轉動的周期為T．假定在衛星繞月運行的一個周期內衛星軌道平面與地月連心線共面，求在該周期內衛星發射的微波信號因月球遮擋而不能到達地球的時間（用M、m、R、R₁、r、r₁和T表示，忽略月球繞地球轉動對遮擋時間的影響）．
附：解答本題可能用到的數學知識：
若sinθ=a，則θ=arcsina；若cosθ=b，則θ=arccosb．

Answer 1

分析：根據題意畫出地球和月球的平面示意圖，作出地月球面的公切線，找出衛星運動時發出的信號被遮擋所在的圓�。�
根據萬有引力定律求出探月衛星繞月球轉動的周期．
由幾何關系求出發出的信號被遮擋所在的圓弧所對應的圓心角，再結合周期求出信號被遮擋的時間．

解答：解：如圖，O和O′分別表示地球和月球的中心．在衛星軌道平面上，A是地月連心級OO′與地月球面的公切線ACD的交點，D、C和B分別是該公切線與地球表面、月球表面和衛星圓軌道的交點，根據對稱性，過A點在另一側作地月球面的公切線，交衛星軌道于E點．衛星在圓弧BE上運動時發出的信號被遮擋．
設探月衛星的質量為m₀，萬有引力常量為G，根據萬有引力定律有

GMm

r2

=m

4π2

T

r  ①

Gmm0

r 2 1

=m₀

4π2

T1

r₁  ②
式中，T₁是探月衛星繞月球轉動的周期．
由①②式得(

T1

T

)2=

M

m

(

r1

r

)3③
設衛星的微波信號被遮擋的時間為t，則由于衛星繞月球做勻速圓周運動，應有

t

T1

=

α-β

π

④?
式中，α=∠CO′A，β=∠CO′B．
由幾何關系得  rcosα=R-R₁⑤r₁cosβ=R₁⑥
由③④⑤⑥式得t=

T

π

Mr 3 1 mr3

（arccos

R-R1

r

-arccos

R1

r1

）

點評：本題的關鍵是要能夠根據題意作出物理情景圖象，找出所要求解的運動區域．
數學幾何關系的應用也是解決本題的關鍵．