Question

（20分）如圖所示，M₁N₁N₂M₂是位于光滑水平桌面上的剛性U型金屬導軌，導軌中接有阻值為R的電阻，它們的質量為m₀．導軌的兩條軌道間的距離為l，PQ是質量為m的金屬桿，可在軌道上滑動，滑動時保持與軌道垂直，桿與軌道的接觸是粗糙的，桿與導軌的電阻均不計。初始時，桿PQ于圖中的虛線處，虛線的右側為一勻強磁場區域，磁場方向垂直于桌面，磁感應強度的大小為B�，F有一位于導軌平面內的與軌道平行的恒力F作用于PQ上，使之從靜止開始在軌道上向右作加速運動。已知經過時間t，PQ離開虛線的距離為x，此時通過電阻的電流為I₀，導軌向右移動的距離為x₀（導軌的N₁N₂部分尚未進入磁場區域）。求在此過程中電阻所消耗的能量。不考慮回路的自感。

   

Answer 1

解析：

桿PQ在磁場中運動時，受到的作用力有：外加恒力F，方向向右；磁場的安培力，其大小F_B=BIl，方向向左，式中I是通過桿的感應電流，其大小與桿的速度有關；摩擦力，大小為F_μ，方向向左。根據動能定理，在所考察過程中作用于桿的合力做的功等于桿所增加的動能，即有

                                    （1）

式中v為經過時間t桿速度的大小，W_F為恒力F對桿做的功，W_F安為安培力對桿做的功，W_Fμ為摩擦力對桿做的功。恒力F對桿做的功

               W_F=Fx                                      （2）

因安培力的大小是變化的，安培力對桿做的功用初等數學無法計算，但桿克服安培力做的功等于電阻所消耗的能量，若以E_R表示電阻所消耗的能量，則有

               －W_F安=E_R                                   （3）

摩擦力F_μ是恒力，它對桿做的功

                W_Fμ=－F_μx                                  （4）

但F_μ未知。因U型導軌在摩擦力作用下做勻加速運動，若其加速度為a，則有

                F_μ=m₀a                                     （5）

而             a=2x₀/t²                                      （6）

由（4）、（5）、（6）三式得                      （7）

經過時間t桿的速度設為v，則桿和導軌構成的回路中的感應電動勢

               ε=Blv                                        （8）

根據題意，此時回路中的感應電流

                                                     （9）

由（8）、（9）式得

                                                    （10）

由（l）、（2）、（3）、（7）、（10）各式得

                               （11）

評分標準：本題20分。

（1）式3分，（2）式l分，（3）式4分，（7）式4分，（10）式5分，（11）式3分。