Question

如圖所示，磁感應強度大小B=0.15T、方向垂直紙面向里的勻強磁場分布在半徑R=0.10m的圓形區域內，圓的左端跟y軸相切于直角坐標系原點O，右端跟很大的熒光屏MN相切于x軸上的A點．置于原點的粒子源可沿x軸正方向以一定的速度v₀射出帶正電的粒子流，粒子的重力不計，比荷q/m=1.0×10⁸C/kg．
（1）要使粒子能打在熒光屏上，粒子流的速度v₀應為多少？
（2）若粒子流的速度v₀=3.0×10⁶m/s，且以過O點并垂直于紙面的直線為軸，將圓形磁場逆時針緩慢旋轉90°，求此過程中粒子打在熒光屏上離A的最遠距離．

Answer 1

分析：（1）粒子進入磁場后由洛倫茲力提供向心力而做勻速圓周運動，要使粒子能打在熒光屏上，粒子速度的偏向角應大于90°，當粒子恰好不打到熒光屏上時，粒子從磁場的最高點射出磁場，畫出軌跡，由幾何知識求出半徑，由牛頓第二定律求出此時速度，即可速度v₀應滿足的條件．
（2）若粒子流的速度v₀=3.0×10⁶m/s，由牛頓第二定律求出粒子軌跡的半徑．當圓形磁場區域轉過90°時，磁場轉動時，粒子在磁場中運動情況不變，根據作圖分析P點為最高點的位置，由數學知識求出粒子打在熒光屏上離A的最遠距離．

解答：解：（1）設當粒子流的速度v₀=v₁時，粒子恰好打不到熒光屏上，則這時粒子從磁場的最高點a豎直向上射出磁場，如圖所示，由圖可知，在磁場中的軌道半徑為 r₁=R．①
又由洛倫茲力充當向心力，則有
   qv₁B=m

v 2 1

r1

 ②
由①②式解得 v1=

qBR

m

=1.5×10⁶m/s
由題意分析可知，當v₀＞v₁時，即v₀＞1.5×10⁶m/s時粒子能打在熒光屏上．
（2）若粒子流的速度v₀=3.0×10⁶m/s時，設粒子在磁場中軌道半徑為r₂，則有
   qv₂B=m

v 2 0

r2

解得，r₂=0.2m=2R．
假設磁場無限大，粒子在磁場中運動的軌跡是就是以E為圓心、r₂=0.2m為半徑的一段圓�。�作圖得到熒光屏上最高點位置：如圖所示，若以O為圓心、OA為半徑作出圓孤AE交y軸于E點，以E為圓心、EO為半徑作粒子運動軌跡交AE孤于B點，連接CB并延長交屏于P點，P點即為粒子到達的最高點．
由sinα=

R

r2

，得α=30°
AC=AO-OC=2R-r₂tanα
則y_m=PA=ACtan2α
聯立解得，y_m=0.15m
答：（1）要使粒子能打在熒光屏上，粒子流的速度v₀應為1.5×10⁶m/s．
（2）粒子打在熒光屏上離A的最遠距離是0.15m．

點評：帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動解題常用的程序是：
1、畫軌跡：確定圓心，幾何方法求半徑并畫出軌跡．
2、找關系：軌跡半徑與磁感應強度、速度聯系；偏轉角度與運動時間相聯系，時間與周期聯系．
3、用規律：牛頓第二定律和圓周運動的規律．