Question

粒子擴束裝置如圖甲所示，由粒子源、加速電場、偏轉電場和偏轉磁場組成．粒子源A產生相同的帶正電粒子（粒子質量為m，電荷量為q，其所受重力不計）由靜止開始，經加速電場加速后，連續不斷地沿平行于導體板的方向從兩極板正中央射入偏轉電場．偏轉電場的極板間距為d，偏轉電場的電壓如圖乙所示（已知偏轉電場的周期為T，偏轉電場的電壓最大值U2=

md2

qT2

），加速電場的電壓為U1=

2md2

3qT2

．偏轉磁場水平寬度為L2=

3

d、豎直長度足夠大，磁場右邊界為豎直放置的熒光屏，磁場方向垂直紙面向外．已知粒子通過偏轉電場的時間為T．不考慮粒子間相互作用．求：
（1）偏轉電場的極板長度L₁
（2）粒子射出偏轉電場的最大側移量）y_max
（3）求磁感應強度B為多少時，粒子能打到熒光屏上盡可能低的位置，求最低位置離中心點O的距離h．

Answer 1

分析：（1）粒子經加速電場加速后，在偏轉電場中做類平拋運動，根據類平拋運動知識，已知在偏轉電場中的運動時間可以求出偏轉電場的極板長度L₁
（2）粒子進入偏轉電場時，若有偏轉電壓則粒子在電場方向上先做勻加速直線運動，在偏轉電壓為0時粒子將保持電場方向上的速度做勻速直線運動，當粒子一進入偏轉電場時偏轉電壓為0，則在電場方向先做勻速運動，當偏轉電壓不為0時開始做勻加速直線運動，由此可以判斷粒子何時進入電場偏轉位移最大，何時進入電場偏轉位移最小．
（3）作出粒子在磁場中的臨界運動軌跡，知道什么情況下粒子進入磁場打到屏上的位置盡可能低，并根據幾何關系求解半徑關系和最低點離O點的距離h．

解答：解：（1）粒子加速后進入偏轉電場的速度為v₀，則由動能定理有：
qU1=

1

2

m

v

2 0

可得：v0=

2qU1 m

=

2q m × 2md2 3qT2

=

2 3 d

3T

又因為粒子在水平方向做勻速直線運動，故有：
L₁=v₀t
得：L1=

2 3 d

3T

×T=

2 3

3

d
（2）粒子進入偏轉電場后，有偏轉電壓時做電場方向做勻加速直線運動，沒有偏轉電壓時保持原有運動，要使粒子射出電場時有最大側位移，則需在t=nT（n=0，1，2，3…）時進入偏轉電場，此時粒子先做

2T

3

的勻加速直線運動，在電場方向再以最大速度做

T

3

的勻速直線運動．
在偏轉電場中的加速度a=

qE

m

=

q U2 d

m

=

qU2

md

=

q

md

×

md2

qT2

=

d

T2

粒子在前

2T

3

的側向位移y1=

1

2

at2=

1

2

×

d

T2

×(

2T

3

)2=

2

9

d
此時粒子的側向速度為：vy=at=

d

T2

×

2T

3

=

2d

3T

所以在后

T

3

時間內粒子側向做勻速直線運動的位移
y2=vy×

T

3

=

2d

3T

×

T

3

=

2

9

d
所以粒子射出偏轉電場的最大側位移
ymax=y1+y2=

4

9

d
（3）根據左手定則．粒子進入磁場后向下偏轉，粒子在t=（n+

2

3

）T（n=0，1，2，3…）時射入偏轉電場時側位移最小
最小側位移為：ymin=

1

2

at2=

1

2

×

d

T2

×(

2T

3

)2=

2

9

d
設粒子在射出電場時的偏轉角為θ
則有：tanθ=

vy

v0

=

a 2T 3

v0

=

d T2 × 2T 3

2 3 d 3T

=

3

3

即θ=30°
如圖：

根據粒子運動軌跡知，只有側位移最小的粒子磁場中做圓周運動與熒光屏相切時，打到熒光屏的位置最低．
如圖可知，粒子進入磁場中的速度v=

vy

sinθ

=

a 2T 3

sin30°

=

d T2 × 2T 3

1 2

=

4d

3T

洛倫茲力提供向心力有：
qvB=

mv2

R

由圖示幾何關系有：R(1+sinθ)=L2=

3

d
∴B=

mv

qR

=

m 4d 3T

q 3 d 1+sin30°

=

2 3 md

3qT

最低位置為軌跡與屏的切點，即h=Rcosθ-y_min=

3 d

1+sinθ

cosθ-

2d

9

=

7

9

d

答：（1）偏轉電場的極板長度L₁=

2 3

3

d
（2）粒子射出偏轉電場的最大側移量ymax=

4

9

d
（3）當磁感應強度B為

2 3 md

3qT

時粒子能打到熒光屏上盡可能低的位置，最低位置離中心點O的距離h=

7

9

d

點評：本題的難點是分析帶電粒子的運動情況，電荷在電場中的偏轉做類平拋運動，關鍵是運動的合成與分解；電荷在勻強磁場中做勻速圓周運動，關鍵是畫出軌跡，由幾何知識求出半徑．