Question

如圖所示，以A、B和C、D為端點的半徑為R=0.6m的兩半圓形光滑絕緣軌道固定于豎直平面內，B端、C端與光滑絕緣水平面平滑連接．A端、D端之間放一絕緣水平傳送帶，傳送帶下方B、C之間的區域存在水平向右的勻強電場，場強E=5×10⁵V/m．當傳送帶以v₀=6m/s 的速度沿圖示方向勻速運動時，將質量為m=4×10^-3kg，帶電量q=+1×10^-8C的小物塊由靜止放上傳送帶的最右端，小物塊第一次運動到傳送帶最左端時恰好能從A點沿半圓軌道滑下，不計小物塊大小及傳送帶與半圓軌道間的距離，g取10m/s²，已知A、D端之間的距離為1.2m 等于水平傳送帶的長．
（1）求小物塊第一次運動到傳送帶最左端時的速度的大小；
（2）求小物塊與傳送帶間的動摩擦因數；
（3）求小物塊第1次經CD半圓形軌道到達D點時的速度大小；
（4）小物塊第幾次經CD半圓形軌道到達D點時的速度達到最大？最大速度為多少？

Answer 1

分析：（1）對小物塊第一次運動到傳送帶最左端時的速度的大小這個問題，學生一般會想把它作為DA段的末速u度來求，但是再進一步就走不動了，因為題目沒給DA段的摩擦力，也沒給摩擦因數，或者其他一些提示，比如說摩擦力為重力的幾分之幾．因為不知道摩擦力，所以動能定理當然也不能用．
因此個問題就要再回到題目中仔細看題干，題干當中有這樣一句：“小物塊第一次運動到傳送帶最左端時恰好能從A點沿半圓軌道滑下”，題眼就在這里了．句中的“恰好能從A點沿半圓軌道滑下”就是題眼，打開這個題就從里開始．（題眼找不到，題目就打不開，余下的問題一個都做不了，所以找出“題眼”很關鍵．）這句話涉及到我們在學的繩桿模型問題，我們區分繩桿模型的依據是這個裝置在最高點是否能為物體提供向上的支持力，所以這個軌道實際就是一個繩的模型．
而“恰好能從A點沿半圓軌道滑下”，說明的是圓軌道AB的最高點A位置恰好是重力充當向心力，由此可以解出小物塊第一次運動到傳送帶最左端時的速度的大小．
（2）因為在第一問已經求的A點的速度，要求摩擦因數可以用DA段的運動了．第一問的計算結果是：vA=

6

m/s，它小于傳送帶的速度6m/s，所以可以知道摩擦力在全程做功，因此列出動能定理方程，可以解得摩擦因數．
（3）這一問要有全局觀念，我們可以選擇從D到A經BC再回到D這個過程，來應用一次動能定理．這個過程中做功的力只有兩個，一個是傳送帶的摩擦力，一個就是電場力．兩個都好表示，列出動能定理就可解得結果．
（4）先說明一下，這一問非常難，一般不會考到這個難度的題，即使現在作為高考的壓軸題也少見這個難度的．以前物理單獨考的時候有這個難度的，現在極少見了，不會的也不用氣餒．
來說一下分析思路，物體會在n次加速之后回到D點時，速度等于傳送帶的速度，這之后，傳送帶不再給物體加速，只有電場還會給物體加速，經電場加速之后物體第n+1次回到D點時，其速度就比傳送帶的速度要大．則傳送帶對物體的摩擦力就會變成阻力使其速度減小，直到和傳送帶的速度一樣．但是不可能出現減速后到A點速度仍比傳送帶的速度大的情況，因為這樣的話它再次經過電場加速到D點后速度一定比第n+1次回到D點時的速度大，這樣就無限循環速度就沒有最大值了．

解答：解：
（1）由題意，在小物塊第一次運動到傳送帶最左端時恰好能從A點沿半圓軌道滑下，知圓軌道AB的最高點A位置恰好是重力充當向心力：
             mg=m

vA12

R

解得：vA1=

gR

=

6

m/s
（2）因vA1=

6

m/s＜6m/s，所以物塊在傳送帶上從D到A摩擦力一直做功，由動能定理得：
          μmgL=

1

2

mv2
  解得：μ=0.25
（3）對整體即從D到A經BC再回到D這個過程應用動能定理：
此過程中做功的有摩擦力和電場力
摩擦力做功為：W_f=μmgL
電場力做功為：W_E=qEL
由動能定理得：Wf+WE=

1

2

mvD12
由以上三式解得：v_D1=3m/s
（4）設第n次到達D點時的速度等于傳送帶的速度，由動能定理得：
nμmgL+nqEL=

1

2

mvDn2
解得：n=4
由于n=4是整數，說明物塊第4次到達D點時的速度剛好等于傳送帶的速度．而后物塊隨傳送帶一起勻速運動到A點，再次回到D點的速度為v_D，由動能定理得：
qEL=

1

2

mvD2-

1

2

mv02
解得：vD=

39

m/s＞v₀
這是第5次到達D點的速度，因為它大于傳送帶的速度所以傳送帶的摩擦力就變成了阻力，物塊在傳送帶上做勻減速直線運動．設在傳送帶上前進距離S后，速度減到與傳送帶速度相等．由動能定理得：
-μmgS=

1

2

mv02-

1

2

mvD2
解得：S=0.6m
說明物塊第5次到達D點后，在傳送帶上減速至中點時速度即和傳送帶速度相等，之后隨傳送帶勻速運動到A點，以后的運動就重發上述過程，所以物塊第5次到達D點的速度最大，其最大速度為vD=

39

m/s
答：（1）小物塊第一次運動到傳送帶最左端時的速度的大小為：

6

m/s
（2）小物塊與傳送帶間的動摩擦因數為：0.25
（3）小物塊第1次經CD半圓形軌道到達D點時的速度大�。�3m/s
（4）物塊第5次到達D點的速度最大；最大速度為：

39

m/s

點評：本題由兩個難點，一是在找到“題眼”解決第一問，以此來打開整個題目．這個還有點技巧可以用，就是要注意題目中一些臨界性質的表述，比如常見到的“恰好”“剛好”“剛剛”等，指的就是一些臨界情況，解題應予以關注．
二是在第4問是個大難點，并且這個也沒什么技巧可用，全憑經驗和綜合分析能力了．