Question

兩顆衛星在同一軌道平面繞地球做勻速圓周運動，地球半徑為R，a衛星離地面的高度等于R，b衛星離地面高度為3R，則：
（1）a、b兩衛星周期之比T_a：T_b是多少？
（2）若某時刻兩衛星正好同時通過地面同一點的正上方，則a至少經過多少個周期兩衛星相距最遠？

Answer 1

分析：根據開普勒行星運動定律之周期定律可求周期之比，將衛星的運動看成勻速圓周運動處理

解答：解：（1）R_a=2R，R_b=4R
由開普勒行星運動規律知：

R 3 a

T 2 a

=

R 3 b

T 2 b

所以T_a：T_b=Ra

3

2

：Rb

3

2

=1：2

2

①
（2）設經過t時間 二者第一次相距最遠，
若兩衛星同向運轉，此時a比b多轉半圈，即

t

Ta

-

t

Tb

=

1

2

解得t=

0.5TaTb

Tb-Ta

②
這段時間a經過的周期數為n=

t

Ta

③
由①②③可得n=

4+ 2

7

若兩衛星反向運轉，（

2π

Ta

+

2π

Tb

）t=π  ④
這段時間a經過的周期數為n′=

t

Ta

⑤
由①④⑤得n′=

4- 2

7

故答案為（1）T_a：T_b=1：2

2

（2）

4+ 2

7

或

4- 2

7

點評：本題既可應用萬有引力提供向心力求解，也可應用開普勒行星運動定律求解，以后者較為方便，兩衛星何時相距最遠的求解，要分同向運轉與反向運轉兩種情形，用到的數學變換相對較多，增加了本題難度．