Question

如圖所示，質量均為m的A、B兩球間有壓縮的輕短彈簧處于鎖定狀態，放置在水平面上豎直光滑的發射管內（兩球的大小尺寸和彈簧尺寸都可忽略，它們整體視為質點），解除鎖定時，A球能上升的最大高度為H．現讓兩球包括鎖定的彈簧從水平面出發，沿光滑的半徑為R的半圓槽從左側由靜止開始下滑，滑至最低點時，瞬間解除鎖定．求：
（1）兩球運動到最低點彈簧鎖定解除前所受軌道的彈力；
（2）A球離開圓槽后能上升的最大高度．

Answer 1

分析：A、B系統由水平位置滑到軌道最低點，根據機械守恒定律求出最低點時速度，根據牛頓第二定律求解．
由解除鎖定后的最大高度可求得彈簧的彈性勢能；在圓槽底部釋放時，由動量守恒結合機械能守恒定律可求得A球的速度；再由機械能守恒可求得A球上升的最大高度．

解答：解：（1）A、B系統由水平位置滑到軌道最低點時速度為v₀，根據機械守恒定律
2mgR=

1

2

2m v₀²                                 ①
設軌道對小球的彈力為F，根據牛頓第二定律F-2mg=2m

v 2 0

R

②
得　　F=6mg                                        ③
（2）解除鎖定后彈簧將彈性勢能全部轉化為A、B的機械能，則彈性勢能為
E_P=mgH                                   ④
解除鎖定后A、B的速度分別為v_A、v_B，解除鎖定過程中動量守恒2mv₀=mv_B+mv_A⑤
系統機械能守恒

1

2

2mv₀²+E_P=

1

2

m v_A²+

1

2

m v_B²                      ⑥
聯立上述各式得vA=

2gR

±

gH

⑦
正號舍去　　vA=

2gR

-

gH

⑧
設球A上升的高度為h，球A上升過程機械能守恒
mg（h+R）=

1

2

m v_A²                                    ⑨
整理后得　h=

H

2

-

2RH

⑩
答：（1）兩球運動到最低點彈簧鎖定解除前所受軌道的彈力是6mg；
（2）A球離開圓槽后能上升的最大高度是h=

H

2

-

2RH

．

點評：本題考查動量守恒及機械能守恒定律的綜合應用，要注意分析過程中的能量轉化，并結合正確的規律求解．