Question

一質量為m的小球，系于長為R的輕繩的一端，繩的另一端固定在空間的O點，假定繩是不可伸長的、柔軟且無彈性的．今把小球從O點的正上方離O點的距離為

8

9

R的O₁點以水平的速度V0=

3

4

gR

拋出，如圖所示．試求：
（1）輕繩即將伸直時，繩與豎直方向的夾角為多少？
（2）當小球到達O點的正下方時，繩對質點的拉力為多大？

Answer 1

分析：（1）先將平拋運動沿水平和豎直方向正交分解，根據位移公式列式求解；
（2）細線剛剛繃緊時，將速度沿著細線方向和處置細線方向正交分解，沿細線方向速度迅速減小為零，垂直細線方向速度不變，之后物體繞O點做變速圓周運動，機械能守恒，先求出最低點速度，再根據向心力公式和牛頓第二定律求解拉力．

解答：解：（1）小球的運動可分為三個過程：
第一過程：小球做平拋運動．設繩即將伸直時，繩與豎直方向的夾角為θ，如圖所示，則V₀t=Rsinθ，

1

2

gt2=

8

9

R-Rcosθ，其中V0=

3

4

gR

聯立解得θ=

π

2

，t=

4

3

R g

．
即輕繩即將伸直時，繩與豎直方向的夾角為90°．
（2）第二過程：繩繃直過程．繩棚直時，繩剛好水平，如圖所示．由于繩不可伸長，故繩繃直時，V₀損失，小球僅有速度V_⊥，且V⊥=gt=

4

3

gR

．
第三過程：小球在豎直平面內做圓周運動．設小球到達O點正下方時，速度為V′，根據機械能守恒守律有：

1

2

mV/2=

1

2

mV⊥2+mg?R
設此時繩對小球的拉力為T，則T-mg=m

V/2

R

，
聯立解得：T=

43

9

mg．
故當小球到達O點的正下方時，繩對質點的拉力為

43

9

mg．

點評：本題關鍵是將小球的運動分為三個過程進行分析討論，平拋運動過程、突然繃緊的瞬時過程和變速圓周運動過程；然后根據對各段運用平拋運動位移公式、速度分解法則、機械能守恒定律和向心力公式列式求解．