Question

一傳送帶裝置示意圖如圖，其中傳送帶經過AB區域時是水平的，經過BC區域時變為圓弧形（圓弧由光滑模板形成，未畫出），經過CD區域時是傾斜的，AB和CD都與BC相切.現將大量的質量均為m的小貨箱一個一個在A處放到傳送帶上，放置時初速為零，經傳送帶運送到D處，D和A的高度差為h.穩定工作時傳送帶速度不變，CD段上各箱等距排列，相鄰兩箱的距離為L.每個箱子在A處投放后，在到達B處之前已經相對于傳送帶靜止，且以后也不再滑動（忽略經BC段時的微小滑動）.已知在相當長的時間T內，運送小貨箱的數目為N.此裝置由電動機帶動，傳送帶與輪子間無相對滑動，不計輪軸處的摩擦.求電動機的平均輸出功率P.

Answer 1

解析：以地面為參考系（下同），設傳送帶的運動速度為v₀，在水平段運輸的過程中，小貨箱先在滑動摩擦力作用下做勻加速運動，設這段路程為s，所用時間為t，加速度為a，則對小箱有

s=at²                                                                     ①

v₀=at                                                                       ②

在這段時間內，傳送帶運動的路程為

s₀=v₀t                                                                       ③

由以上可得s₀=2s                                                             ④

用F_f表示小箱與傳送帶之間的滑動摩擦力，則傳送帶對小箱做功為

A=F_fs=mv₀²                                                               ⑤

傳送帶克服小箱對它的摩擦力做功

A₀=F_fs₀=2·mv₀²                                                            ⑥

兩者之差就是克服摩擦力做功發出的熱量

Q=mv₀²                                                                   ⑦

可見，在小箱加速運動過程中，小箱獲得的動能與發熱量相等.

T時間內，電動機輸出的功為

W=T                                                                     ⑧

此功用于增加小箱的動能、勢能以及克服摩擦力發熱，即

W=Nmv₀²+Nmgh+NQ                                                       ⑨

已知相鄰兩小箱的距離為L，所以

v₀T=NL⑩

聯立⑦⑧⑨⑩，得

P=［+gh］.

答案：P=［+gh］