Question

已知一顆人造衛星在半徑為R的某行星上空繞該行星做勻速圓周運動，經過時間t，衛星運動的弧長為s，衛星與行星的中心連線掃過的角度是θ弧度，已知萬有引力常量為G．求：（以下各問均用題中所給字母表示） 
（1）人造衛星運行時的線速度、角速度、及距該行星表面的高度h；
（2）該行星的質量M；
（3）該行星的第一宇宙速度 v_l．

Answer 1

分析：（1）線速度的定義為v=

s

t

，角速度的定義為ω=

θ

t

，角速度與線速度的關系為r=

v

ω

，則該衛星距離該行星表面的高度為h=r-R=

s

θ

-R．
（2）萬有引力提供向心力G

Mm

r2

=m

v2

r

，有M=

v2r

G

，把v和r的值代入，化簡得該行星的質量． 
 （3）萬有引力提供向心力G

Mm

R2

=m

v12

R

得 v1=

GM R

，把M的值代入，化簡得該行星的第一宇宙速度．

解答：解：（1）根據線速度的定義得v=

s

t

根據角速度的定義得ω=

θ

t

                 
根據角速度與線速度的關系得r=

v

ω

所以該衛星距離該行星表面的高度為h=r-R=

s

θ

-R
（2）根據萬有引力提供向心力G

Mm

r2

=m

v2

r

得M=

v2r

G

把v和r的值代入，化簡得
M=

s3

θGt2

 
 （3）當衛星貼近該行星表面飛行時，萬有引力提供向心力G

Mm

R2

=m

v12

R

得 v1=

GM R

把M的值代入，化簡得
v1=

s3 θRt2

答：（1）人造衛星運行時的線速度為

s

t

、角速度為

θ

t

、距該行星表面的高度h為

s

θ

-R；
（2）該行星的質量M為

s3

θGt2

；
（3）該行星的第一宇宙速度 v_l為

s3 θRt2

．

點評：本題要熟悉線速度的定義和角速度的定義，以及角速度與線速度的關系，這是解決此題的前提．