Question

（20分）一宇宙人在太空（那里萬有引力可以忽略不計）玩壘球。遼闊的太空球場半側為均勻電場E，另半側為均勻磁場B，電場和磁場的分界面為平面，電場方向與界面垂直，磁場方向與垂直紙面向里。宇宙人位于電場一側距界面為h的P點， O點是P點至界面垂線的垂足，D點位于紙面上O點的右側，OD與磁場B的方向垂直，OD = d 。如圖所示，壘球的質量為m，且帶有電量 q（q＞0）。

（1）宇宙人是否可能自P點以某個適當的投射角（與界面所成的θ角）及適當的初速度投出壘球，使它經過D點，然后歷經磁場一次自行回至P點？試討論實現這一游戲，d必須滿足的條件并求出相應的和。

（2）若宇宙人從P點以初速度平行與界面投出壘球，要使壘球擊中界面上的某一D點，初速度的指向和大小應如何？

Answer 1

解析：

（1）首先建立直角坐標系。使x與OD重合，y與OP重合。球有平拋、斜向上和斜下拋三情形。若球投向y軸的右側，當球達到分界面上的D的速度為，與x軸的夾角為，球沿半徑為R的圓周運動，達到界面的，又從回到拋出點。

   （1）

  （2）

球在電場區的加速度為a，

   （3）

+，-分別表示在P點斜上拋與斜下拋的情況。設球從拋出點到D的時間為，則：

    （4）

      （5）

  將（2）（5）代入（4） 

得：   （6）

因（3）和（6）必須是實數，所以有   （7）

（a）若  （8）

則由（3）和（6）得，，即（9）

 （10）

（b）若  （11）

則

（c）時候無論怎樣都不能回到出發點。

（2）擊中D點有三種方式

（a）從P點拋出后經過電場區，直接到D點，若所經歷的時間為t，則由

，

得：                                  

（2）從拋出點“下落”然后經過磁場回轉，又由電場區斜上拋，如此循環，歷經磁場n次循環，最終在電場區斜上拋到D。設自P點平拋的水平射程，球經磁場回旋一次，在x軸方向倒退

從D₂出磁場后經電場區斜上拋運動，球在x軸方向前進，如此經n次循環后從電場區達到D，有

求得：

若拋出點的初速度為，有，

求得： 

（c）從拋出點“下落”然后經過磁場回轉，又由電場區斜上拋，如此循環，歷經磁場n次循環，最終在磁場區到D。設自P點平拋的水平射程，球經磁場回旋一次，在x軸方向倒退

從D₂出磁場后經電場區斜上拋運動，球在x軸方向前進，如此經n次循環后從電場區達到D，有 

若拋出點的初速度為，有，

求得：