Question

如圖所示，金屬桿a在離地h高處從靜止開始沿與水平導體軌道平滑連接的弧形軌道下滑，導軌的水平部分有豎直向上的勻強磁場B，水平部分導軌間距l，其上原來放有一金屬桿b．已知a桿與b桿的質量分別為3m、4m，a、b兩桿電阻分別為3R、4R其余電阻不計．水平導軌足夠長，不計所有摩擦，導體桿a、b不會相撞．求：
（1）金屬桿b的最大加速度？
（2）a和b的最終速度是多大？整個過程中回路釋放的電能最多是多少？

Answer 1

分析：（1）a桿剛進入磁場時速度最大，則切割磁感線速度最大，產生的感應電動勢也最大，從而得出感應電流也最大，所以導致b桿受到的安培力最大，則產生的加速度也是最大．所以根據動能定理可求出a桿進入磁場的速度，再由動生電動勢公式E=BLv確定回路總電動勢，并由電路知識回路中的電流為 I=

E

R+r

，磁場知識通電導線在磁場中受安培力F=BIL，確定此時b桿所受的安培力為F=BIL，最后由牛頓第二定律F=ma求出b桿的加速度．
（2）本題中兩根導體桿的運動情況：a桿向b桿運動時，兩桿和導軌構成的回路面積變小，磁通量發生變化，于是產生感應電流．a桿受到的與運動方向相反的安培力作用作減速運動，b桿則在安培力作用下作加速運動．在a桿的速度大于b桿的速度時，回路總有感應電流，a桿繼續減速，cd桿繼續加速，兩桿速度達到相同后，回路面積保持不變，磁通量不變化，不產生感應電流，兩桿以相同的速度v作勻速運動，由于平行金屬導軌位于同一水平面且兩桿均可沿導軌無摩擦地滑行，故由兩桿組成的系統所受的合外力為零，系統動量守恒，這是第一問再由能量守恒求出焦耳熱的關鍵；

解答：解：（1）a桿下滑過程，由動能定理可得：
mgh=

1

2

mv2-0
而a桿產生的感應電動勢：E=BLv
 電路知識回路中的電流為 I=

E

R+r

，
磁場中a桿受安培力F=BIL，
則由牛頓第二定律，結合以上四式可得：
    a=

B2l2 2gh

49Rm

（2）a桿向b桿運動時，由兩桿組成的系統所受的合外力為零，系統動量守恒，
則有3mv=（3m+4m）v_共
解之得：v共=

3 2gh

7

，
由能量守恒定律可得：Q=

1

2

3mv2-

1

2

(3m++4m)

v

2 共

解之得：Q=3mgh-

18mgh

14

=

12mgh

7

答：（1）金屬桿b的最大加速度

B2L2 2gh

49Rm

；
（2）a和b的最終速度是

3 2gh

7

；整個過程中回路釋放的電能最多是

12mgh

7

．

點評：第一問是動量守恒定律、牛頓第二定律及能量守恒定律在電磁感應現象中的應用問題，分析兩棒組成的系統在運動過程中是不是合外力為零或者內力遠大于外力的系統總動量守恒的條件，從而為確定兩棒最后的末速度找到解決途徑是關鍵，之后分析這類電磁感應現象中的能量轉化較易：系統減少的動能轉化為回路的焦耳熱；第二問求棒的瞬時加速度問題較為復雜：是動生電動勢、動量守恒定律、牛頓第二定律及閉合電路歐姆定律綜合的力電綜合問題，故本題屬于難題．