Question

如圖，阻值不計的光滑金屬導軌MN和PQ水平放置，其最右端NQ間距 d 為 l m，左端MP間接有阻值 r 為 4Ω 的電阻，右端NQ與半徑 R 為 2m 的光滑豎直半圓形絕緣導軌平滑連接．在平面NQDC的左側空間中存在豎直向下的勻強磁場 B，平面NQDC的右側空間中無磁場．一根阻值不計的長為 L=l.2m，質量 m=0.5kg 的金屬桿 ab 放在導軌的 EF 處，EF 與MP平行．現桿 ab 以初速度v=12m/s 向右在水平軌道上做勻減速運動，進入半圓形導軌后恰能通過最高位置 CD，并恰又落到 EF 位置．求：
（l）桿ab 剛進入半圓形導軌時，對導軌的壓力；
（2）EF 到NQ的距離；
（3）磁感應強度 B 的大小；
（4）試簡要說明桿 ab 以初速度v 向右在水平軌道上做勻減速運動的合理性．

Answer 1

【答案】分析：（1）金屬桿ab恰能通過最高位置 CD時，由重力提供向心力，根據牛頓第二定律可求出經過最高點的速度．棒從NQ到最高點的過程機械能守恒，則可求出棒通過NQ時的速度．棒經NQ時，由重力和軌道的支持力提供其向心力，由牛頓運動定律求出桿ab剛進入半圓形導軌時對導軌的壓力．
（2）ab 離開半圓形導軌后做平拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做自由落體運動，由下落的高度為2R和最高點的速度結合可求出EF到NQ的距離；
（3）桿 ab 做勻減速運動，由運動學公式、牛頓第二定律和安培力結合可求得B．
（4）桿向右運動時，受到向左的安培力作用，使桿的運動速度v減小，而隨著軌道寬度變大，L變大，由F_A=可知，桿所受的安培力有可能不變，則棒可以做勻減速運動．
解答：解：（ 1 ）設桿ab剛進入半圓形導軌時速度為v₁，到達最高位置時速度為v₂，由于恰能通過最高點，則：
   得：
桿ab進入半圓形導軌后，由于軌道絕緣，無感應電流，則根據機械能守恒定律：
   =mg?2R+
解得：v₁=10m/s
設在最低點時半圓形軌道對桿ab的支持力為 N
   得：N=30N 
（ 2 ）ab離開半圓形導軌后做平拋運動，設經時間t落到水平導軌上
由得，
則EF與NQ的水平距離 S=v₂t=4 m   
（3）設桿ab做勻減速運動的加速度為a
  得：a=-5.5m/s²    
對桿剛要到達NQ位置處進行分析：
  由F_A=BId、得
 
（4）桿向右運動時，受到向左的安培力作用，使桿的運動速度v減小，而隨著軌道寬度變大，L變大，由F_A=可知，桿所受的安培力有可以不變，故桿作勻減速運動是合理的．
答：
（l）桿ab剛進入半圓形導軌時，對導軌的壓力為30N；
（2）EF 到NQ的距離為4m；
（3）磁感應強度B的大小為1.05T；
（4）桿向右運動時，受到向左的安培力作用，使桿的運動速度v減小，而隨著軌道寬度變大，L變大，由F_A=可知，桿所受的安培力有可以不變，故桿作勻減速運動是合理的．
點評：本題的突破口是棒恰能通過最高位置CD，達到臨界狀態，由牛頓第二定律可求得臨界速度．本題是電磁感應中的力學問題，安培力的分析和計算是關鍵