Question

a、b兩顆人造衛星在同一軌道平面內繞地球做勻速圓周運動，地球半徑為R，a衛星離地面高度為R，b衛星離地面高度為3R．試求：
（1）a、b兩衛星的周期之比T_a：T_b；
（2）a、b兩衛星的速度之比v_a：v_b．

Answer 1

分析：根據萬有引力充當向心力，表示出他們的周期和線速度與半徑的關系進而求解比例關系．

解答：解：人造衛星繞地球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，設衛星的質量為m、軌道半徑為r、地球質量為M，有
F=F_向
F=G

Mm

r2

，
F_向=m

v2

r

=m（

2π

T

）²r；
因而
G

Mm

r2

=m

v2

r

=m（

2π

T

）²r；
解得
T=

2πr

v

=2π

r3 GM

①
v=

GM r

②
已知r_a=2R，r_b=4R，根據①式知a、b兩顆衛星的周期之比
T_a：T_b=

r 3 a

：

r 3 b

=

(R+R)3

：

(R+3R)3

=

2

：4；
根據②式知a、b兩顆衛星的速度之比為
v_a：v_b=

1 r   a

：

1 rb

=

4R

：

2R

=

2

：1；
答：（1）a、b兩衛星的周期之比T_a：T_b=；=

2

：4
（2）a、b兩衛星的速度之比v_a：v_b=

2

：1．

點評：本題關鍵抓住萬有引力提供向心力，列式求解出線速度、周期的表達式，找到影響其大小的關鍵物理量，再進行比例求解．