Question

我國發射的“嫦娥一號”衛星發射后首先進入繞地球運行的“停泊軌道”，通過加速再進入橢圓“過渡軌道”，該軌道離地心最近距離為L₁，最遠距離為L₂，衛星快要到達月球時，依靠火箭的反向助推器減速，被月球引力“俘獲”后，成為環月球衛星，最終在離月心距離L₃的“繞月軌道”上飛行．已知地球半徑為R，月球半徑為r，地球表面重力加速度為g，月球表面的重力加速度為g/6，求：
（1）衛星在“停泊軌道”上運行的線速度；
（2）衛星在“繞月軌道”上運行的線速度．
（3）假定衛星在“繞月軌道”上運行的周期內為T，衛星軌道平面與地月連心線共面，求在該一個周期內衛星發射的微波信號因月球遮擋而不能到達地球的時間（忽略月球繞地球轉動對遮擋時間的影響）．

Answer 1

分析：（1）根據萬有引力提供向心力和地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，由以上二式可解得衛星在“停泊軌道”上運行的線速度v₁．
（2）根據萬有引力提供向心力和在月球表面的物體受到的重力等于萬有引力，由以上二式可解得衛星在“繞月軌道”上運行的線速度v₂．
（3）根據題意畫出地球和月球的平面示意圖，作出地月球面的公切線，找出衛星運動時發出的信號被遮擋所在的圓弧．
根據萬有引力定律求出探月衛星繞月球轉動的周期．
由幾何關系求出發出的信號被遮擋所在的圓弧所對應的圓心角，再結合周期求出信號被遮擋的時間．

解答：解：（1）根據萬有引力提供向心力
G

M地m

L12

=m

v12

L1

根據地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，
G

M地m

R2

=mg
得 v1=

gR2 L1

（2）根據萬有引力提供向心力
G

M月m

L32

=m

v22

L3

根據在月球表面的物體受到的重力等于萬有引力
G

M月m

r2

=mg月
v2=

gr2 6L3

（3）如圖，O和O′分別表示地球和月球的中心．在衛星軌道平面上，A是地月連心級OO′與地月球面的公切線ACD的交點，D、C和B分別是該公切線與地球表面、月球表面和衛星圓軌道的交點，根據對稱性，過A點在另一側作地月球面的公切線，交衛星軌道于E點．衛星在圓弧BE上運動時發出的信號被遮擋．

cosβ=∠COB=

r

L3

cosα=∠DOA=

R-r

L2-L1

gR2 L1

t=

α-β

π

T=（arccos

R-r

L2-L1

-arccos

r

L3

）

T

π

答：（1）衛星在“停泊軌道”上運行的線速度是

gR2 L1

；
（2）衛星在“繞月軌道”上運行的線速度是

gr2 6L3

．
（3）在該一個周期內衛星發射的微波信號因月球遮擋而不能到達地球的時間是（arccos

R-r

L2-L1

-arccos

r

L3

）

T

π

點評：12、本題要掌握天體運動的兩個關系：萬有引力提供向心力和星球表面的物體受到的重力等于萬有引力．
3、本題的關鍵是要能夠根據題意作出物理情景圖象，找出所要求解的運動區域．
數學幾何關系的應用也是解決本題的關鍵．