Question

（2013?東城區二模）如圖所示，在質量為M=0.99kg的小車上，固定著一個質量為m=0.01kg、電阻R=1Ω的矩形單匝線圈MNPQ，其中MN邊水平，NP邊豎直，MN邊長為L=0.1m，NP邊長為l=0.05m．小車載著線圈在光滑水平面上一起以v₀=10m/s的速度做勻速運動，隨后進入一水平有界勻強磁場（磁場寬度大于小車長度）．磁場方向與線圈平面垂直并指向紙內、磁感應強度大小B=1.0T．已知線圈與小車之間絕緣，小車長度與線圈MN邊長度相同．求：
（1）小車剛進入磁場時線圈中感應電流I的大小和方向；
（2）小車進入磁場的過程中流過線圈橫截面的電量q；
（3）如果磁感應強度大小未知，已知完全穿出磁場時小車速度v₁=2m/s，求小車進入磁場過程中線圈電阻的發熱量Q．

Answer 1

分析：（1）小車剛進入磁場時線圈切割磁感線，由E=BLv₀求出感應電動勢，由歐姆定律求解感應電流I的大小，根據楞次定律判斷I的方向；
（2）根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律和q=I△t結合起來，求出流過線圈橫截面的電量q；
（3）根據牛頓第二定律得到瞬時感應電流與速度變化率的關系式，運用積分法求出小車完全進入磁場后速度，再根據功能關系，即可求出小車進入磁場過程中線圈電阻的發熱量Q．

解答：解：（1）線圈切割磁感線的速度v₀=10m/s，感應電動勢 E=Blv₀=1×0.05×10=0.5V
由閉合電路歐姆定律得，線圈中電流I=

E

R

=

0.5

1

A=0.5A
由楞次定律知，線圈中感應電流方向為 M→Q→P→N→M
（2）小車進入磁場的過程中流過線圈橫截面的電量為
  q=I△t=

E

R

△t
又E=

△Φ

△t

，△Φ=BS
聯立得q=

BS

R

=5×10-3C
（3）設小車完全進入磁場后速度為v，
在小車進入磁場從t時刻到t+△t時刻（△t→0）過程中，根據牛頓第二定律得
-BIL=-m

△v

△t

 
 即-BLI△t=m△v
兩邊求和得  -BLI△t=m△v
則得  BLq=m（v₀-v）
設小車出磁場的過程中流過線圈橫截面的電量為q′，
同理得 BLq′=m（v-v₁） 
又線圈進入和穿出磁場過程中磁通量的變化量相同，因而有 q=q′
故得  v₀-v=v-v₁  即 v=

v0+v1

2

=6 m/s
所以，小車進入磁場過程中線圈電阻的發熱量為
  Q=

1

2

(M+m)

v

2 0

-

1

2

(M+m)v2=

1

2

×1×102-

1

2

×1×62=32J
答：（1）小車剛進入磁場時線圈中感應電流I的大小是0.5A，方向為 M→Q→P→N→M；
（2）小車進入磁場的過程中流過線圈橫截面的電量q是5×10^-3C；
（3）小車進入磁場過程中線圈電阻的發熱量Q是32J．

點評：本題是電磁感應與力學知識的綜合，難點是運用積分法求出小車完全進入磁場后的速度，關鍵從牛頓第二定律出發進行變形，再求和得到．運用功能關系時，要分析回路中涉及幾種形式的能，分析能量是如何轉化的是關鍵．