Question

使用“彈簧式角速度測量儀”可以測量運動裝置自轉時角速度的大小，其結構示意圖如圖所示．將測量儀固定在待測裝置上，當裝置繞豎直固定軸OO′轉動時，與輕彈簧相連的小球A可在光滑絕緣細桿BC上滑動，同時帶動連接在A上的滑動變阻器的動觸片P在與BC平行的電阻絲MN上滑動，使得電壓表V的示數U₀隨裝置轉動的角速度ω發生變化，據此可測出待測裝置的角速度ω的大�。�
已知：小球A的質量為m；彈簧的原長為x₀、勁度系數為k；電阻MN粗細均勻、長度為L、阻值為R；電壓表V通過兩根導線分別接在電阻絲MN的中點Q和動觸片P上，電阻絲MN的兩端接在電壓為U的直流穩壓電源上．閉合開關后S測量儀器即可工作．若不計導線和動觸片P的電阻、以及導線對動觸片P的影響，忽略動觸片P和電阻MN之間的摩擦，且電壓表視為理想電表．裝置靜止時，動觸片P與Q（導線和電阻的連接點）重合．
（1）試推導：待測裝置自轉的角速度ω與電壓表V的示數U₀之間的關系式．
（2）用該測量儀能測量的自轉角速度的最大值ω_m是多少？

Answer 1

（1）設待測裝置自轉的角速度為ω時，彈簧伸長量為x，電壓表V的示數為U₀，小球A做圓周運動的半徑為 r=x₀+x，彈簧彈力為F．
根據牛頓第二定律，有　　　F=mω²r               ①
由胡克定律　　　　　　　　F=kx                 ②
電壓表V的示數（即P、Q間的電壓）為U₀，設P、Q間的電阻值為R_x，有

U0

U

=

Rx

R

=

x

L

     ③
①、②、③式聯立，得ω=

k m(1+ x0U LU0 )

             ④
（2）用該測量儀測量某裝置自轉的角速度為最大值ω_m時，有：
x=

1

2

L                                        ⑤
U0=

1

2

U                                      ⑥
代入④式，得  ωm=

k m(1+ 2x0 L )

答：（1）待測裝置自轉的角速度ω與電壓表V的示數U₀之間的關系式為

k m(1+ x0U LU0 )

．
（2）用該測量儀能測量的自轉角速度的最大值ω_m是

k m(1+ 2x0 L )

．