Question

某同學用一個光滑的半圓形軌道和若干個大小相等、可視為質點的小球做了三個有趣的實驗，軌道固定在豎直平面內，且兩端同高．第一次，他將一個小球從離軌道最低點的豎直高度h處由靜止沿軌道下滑（h遠小于軌道半徑），用秒表測得小球在軌道底部做往復運動的周期為T；第二次，他將小球A放在軌道的最低點，使另一個小球B從軌道最高點由靜止沿軌道滑下并與底部的小球碰撞，結果小球B返回到原來高度的1/4，小球A也上滑到同樣的高度；第三次，用三個質量之比為m₁：m₂：m₃=5：3：2的小球做實驗，如圖所示，先將球m₂和m₃放在軌道的最低點，球m₁從某一高度由靜止沿軌道下滑，它們碰后上升的最大高度分別為h₁、h₂和h₃，不考慮之后的碰撞．設實驗中小球間的碰撞均無能量損失．重力加速度為g．求：
（1）半圓形軌道的半徑R；
（2）第二次實驗中兩小球的質量之比m_A：m_B；
（3）第三次實驗中三個小球上升的最大高度之比h₁：h₂：h₃．

Answer 1

分析：（1）根據單擺周期公式求出圓形軌道半徑．
（2）由機械能守恒定律可以求出小球速度．
（3）由動量守恒定律與機械能守恒定律列方程解題．

解答：解：（1）第一次實驗中，小球的運動可以看做擺長為R的單擺，
由單擺周期公式得：T=2π

R g

，則R=

T2g

4π2

；
（2）第二次實驗中，球B從高為R處釋放，設球B與球A碰撞前瞬間的速度大小為v_B，
碰撞后瞬間它們速度的大小分別為vB′和v_A．由題意知，球B與A碰后達到的高度均為

R

4

，
由機械能守恒定律得：

1

2

m_Bv_B²=m_BgR，

1

2

m_Bv_B′²=m_Bg

R

4

1

2

m_Av_A′²=m_Ag

R

4

，
所以v_B=

2gR

，v_A=v_B′=

1 2 gR

，
由動量守恒定律得：m_Bv_B=-m_Bv_B′+m_Av_A，解得

mA

mB

=

3

1

，
（3）根據題意設球1、2、3的質量分別為5m、3m和2m．設球1與球2碰撞前后的速度分別為v₁、v₁′，球2與球3碰撞前后的速度分別為v₂、v₂′，球3與球2碰撞后的速度為v₃．
球1與球2碰撞過程中動量守恒，且機械能守恒，則有：
5mv₁=5mv₁′+3mv₂，

1

2

×5mv₁²=

1

2

×5mv₁′²+

1

2

×3mv₂²，
解得：v₁′=

1

4

v₁，v₂=

5

4

v₁，
球2與球3碰撞過程中動量守恒，且機械能守恒，則有
3mv₂=3mv₂′+3mv₃，

1

2

×3mv₂²=

1

2

×3mv₂′²+

1

2

×2mv₃²，
解得：v₂′=

1

4

v₁，v₃=

3

2

v₁，
在三個小球的上升過程中，根據機械能守恒定律有

1

2

×5mv₁′²=5mgh₁，

1

2

×3mv₂′²=3mgh₂，

1

2

×2mv₃′²=2mgh₃，
解得：h₁：h₂：h₁=1：1：36；
答：（1）半圓形軌道的半徑R=

T2g

4π2

；
（2）第二次實驗中兩小球的質量之比m_A：m_B=3：1；
（3）第三次實驗中三個小球上升的最大高度之比h₁：h₂：h₃=1：1：36．

點評：應用單擺周期公式、機械能守恒定律、動量守恒定律是正確解題的關鍵，本題涉及的研究對象多、過程復雜，難度較大，是一道難題．