Question

如圖，一勻強磁場磁感應強度為B，方向向里，其邊界是半徑為R的圓．AB為圓的一直徑．在A點有一粒子源向圓平面內的各個方向發射質量m、電量+q的粒子，粒子重力不計．（結果保留2位有效數字）
（1）如果有一帶電粒子以垂直于磁場的速度，沿半徑方向進入圓形區域的磁場中．試證明此粒子一定沿半徑方向射出磁場．
（2）如果磁場的邊界是彈性邊界，粒子沿半徑方向射入磁場，粒子的速度大小滿足什么條件，可使粒子在磁場中繞行一周回到出發點，并求離子運動的時間．
（3）如果R=3cm、B=0.2T，在A點的粒子源向圓平面內的各個方向發射速度均為10⁶m/s，比荷為10⁸c/kg的粒子．試畫出在磁場中運動時間最長的粒子的運動軌跡并求此粒子的運動的時間．
（4）在（3）中，如果粒子的初速度大小均為3×10⁵米/秒，求磁場中有粒子到達的面積．

Answer 1

分析：（1）根據左手定則判斷出粒子偏轉的方向，畫出粒子運動的軌跡，根據軌跡的幾何關系進行證明．
（2）粒子徑向射入磁場，必定徑向反彈，作出粒子的軌跡圖，通過幾何關系求出粒子的半徑，從而通過半徑公式求出粒子的速度．
（3）根據洛倫茲力提供向心力，求出粒子的半徑，通過幾何關系得出圓弧所對應的圓心角，根據周期公式，結合

t

T

=

α

2π

求出粒子在磁場中運動的時間．
（4）根據粒子的半徑公式求出粒子的軌道半徑，作出粒子軌跡所能到達的部分，根據幾何關系求出面積．

解答：解：（1）如圖，沿半徑射入，r與R垂直，
兩三角形全等
而出射速度v與軌跡半徑r垂直，
所以出射速度與R同一直線．
（2）設粒子經過了n個軌跡回到了A點，所以在右圖中
α=

π

n

    r=Rtanα
v=

qBR

m

tan

π

n

n=3、4…
t=T=

2πm

qB

（3）粒子的半徑r=

mv

qB

=5cm
要粒子的運動時間最長，軌跡如圖
β=74⁰
時間t=

74°

360°

T=6.4×10^-8s
（4）粒子的軌跡半徑：r=

mv

qB

=1.5cm
有粒子到達的區域為如圖陰影部分
S=9.0×10^-4m²
答：（1）證明略．
（2）粒子的速度大小滿足v=

qBR

m

tan

π

n

n=3、4…，可使粒子在磁場中繞行一周回到出發點，并求離子運動的時間t=

2πm

qB

．
（3）試畫出在磁場中運動時間最長的粒子的運動軌跡如圖，此粒子的運動的時間6.4×10^-8s．
（4）磁場中有粒子到達的面積S=9.0×10^-4m²．

點評：本題考查了帶電粒子在磁場中的運動問題，需掌握粒子的半徑公式和周期公式．該題對數學幾何能力要求較高，需加強這方面的訓練．