Question

【題目】如圖甲為科技小組的同學們設計的一種靜電除塵裝置示意圖，其主要結構有一長為L，寬為b，高為d的矩形通道，其前、后板使用絕緣材料，上、下板使用金屬材料，圖乙是該主要結構的截面圖，上、下兩板與輸出電壓可調的高壓直流電源（內電阻可忽略不計）相連，質量為m、電荷量大小為q的分布均勻的帶負電的塵埃無初速度地進入A、B兩極板間的加速電場。已知A、B兩極板間加速電壓為，塵埃加速后全都獲得相同的水平速度，此時單位體積內的塵埃數為n。塵埃被加速后進入矩形通道，當塵埃碰到下極板后其所帶電荷被中和，同時塵埃被收集，通過調整高壓直流電源的輸出電壓U可以改變收集效率（被收集塵埃的數量與進入矩形通道塵埃的數量的比值）。塵埃所受的重力，空氣阻力及塵埃之間的相互作用均可忽略不計，在該裝置處于穩定工作狀態時：

（1）求在較短的一段時間呢，A、B兩極板間加速電場對塵埃所做的功；

（2）若所有進入通道的塵埃都被收集，求通過高壓直流電源的電流；

（3）請推導出收集效率隨電壓直流電源輸出電壓U變化的函數關系式。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）若，；若，效率為100％

【解析】

試題分析：（1）設電荷經過極板B的速度大小為，對于一個塵埃通過加速電場過程中，加速電場做功為

在時間內從加速電場出來的塵埃總體積是

其中的塵埃的總個數

故A、B兩極板間的加速電場對塵埃所做的功

對于一個塵埃通過加速電場過程，根據動能定理可得

故解得

（2）若所有進入矩形通道的塵埃都被收集，則時間內碰到下極板的塵埃的總電荷量

通過高壓直流電源的電流

（3）對某一塵埃，其在高壓直流電源形成的電場中運動時，在垂直電場方向做速度為的勻速直線運動，在沿電場力方向做初速度為0的勻加速直線運動

根據運動學公式有：垂直電場方向位移，沿電場方向位移

根據牛頓第二定律有

距下板y處的塵埃恰好到達下板的右端邊緣，則x=L

解得

若，即，則收集效率

若，則所有的塵埃都到達下極板，效率為100％