Question

質點A沿直線以v_A=5m/s勻速運動，某時刻（t=0）在A后面與A相距△x=7.75m的質點B由靜止開始起動，質點B運動方向與A一致，其加速度隨時間周期性變化，加速度隨時間變化的圖象如圖所示．求：
（1）質點B追上A之前兩者間的最大距離；
（2）B出發后經多少時間追上A？

Answer 1

（1）質點B的速度為5m/s時，A、B之間的距離最大
設質點B速度達到5m/s若一直做勻加速，總共需要的時間為△t，
由運動學公式：△t=

vA

a

=2.5s
由質點B加速度與時間關系知，經過時間t₁=4.5s時，A、B之間的距離最大．
在時間t₁內質點A發生的位移x_A=v_At₁=22.5m，
質點B在第1s內的位移x1=

1

2

a

t

21

=1m
質點B在第2s內的位移x₂=at₁△T，式中△T=1s，代入數據得，x₂=2m．
質點B在第3s內的位移x3=at1△T+

1

2

a(△T)2=3m
質點B在第ns（n為整數）內的位移x_n=n（m）質點B在t₁時間內的位移xB=1+2+3+4+2a△T×0.5+

1

2

a×0.52(m)=12.25m
故A、B之間的最大距離△x_m=△x+x_A-x_B=18m．
（2）設經歷時間t（t為正整數）B追上A時間t內A的位移x_A′=v_At
時間t內B的位移x_B′=1+2+…+t=

t(t+1)

2

x_B′=x_A′+△x，此式無整數解，但可求得10≤t≤11s，
10s內A發生的位移x_A1=v_A×10=50m，B發生的位移xB1=

10×11

2

(m)=55m，
故在10s后，B需比A多發生的位移△x′=△x+x_A1-x_B1=2.75m
設10s后需時間t′B追上A則5a△Tt′+

1

2

at′2-vAt′=2.75，
解得t′=0.5s
故B出發后需經過時間t_B=10+t′=10.5s追上A．
答：（1）質點B追上A之前兩者間的最大距離為18m；
（2）B出發后經10.5s時間追上A．