Question

如圖所示，半徑為R的四分之一圓弧形粗糙軌道豎直放置，圓弧最低點與傾斜角為θ的斜坡頂端交于C點，質量為m的小滑塊從離圓弧頂點B也為R的正上方A點由靜止釋放，小滑塊由B進入粗糙圓弧軌道后從C點水平拋出，最終落到斜坡的D點．已知小滑塊在C點時速度大小為

3gR

，不計空氣阻力，g取10m/s²．求：
（1）小滑塊在C點時對圓弧軌道壓力的大小；
（2）小滑塊落點D與C點的水平距離；
（3）小滑塊從A到C的過程中損失的機械能．

Answer 1

分析：（1）在C點，重力和支持力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律列式求解支持力；根據牛頓第三定律求解壓力；
（2）從C到D，小球做平拋運動，根據分位移公式列式求解即可；
（3）對從A到C過程根據功能關系列式求解即可．

解答：解：（1）在C點，重力和支持力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律，有：
N-mg=m

v2

R

解得：
N=mg+m

v2

R

=4mg
根據牛頓第三定律，球對軌道的壓力也為4mg；
（2）從C到D，小球做平拋運動，根據分位移公式，有：
x=vt
y=

1

2

gt2
tanθ=

y

x

聯立解得：
x=

2vtanθ

g

=

2 3gR tanθ

g

（3）從A到C過程，重力勢能減小mg（2R）=2mgR；
動能增加

1

2

mv2=

3

2

mgR；
故機械能減小量為：2mgR-

3

2

mgR=

1

2

mgR
答：（1）小滑塊在C點時對圓弧軌道壓力的大小為4mg；
（2）小滑塊落點D與C點的水平距離為

2 3gR tanθ

g

；
（3）小滑塊從A到C的過程中損失的機械能為

1

2

mgR．

點評：本題關鍵明確小球的運動規律，然后分段結合平拋運動的分運動公式、動能定理、牛頓第二定律和功能關系列式求解，不難．