Question

（20分）如圖所示，接地的空心導體球殼內半徑為R，在空腔內一直徑上的P₁和P₂處，放置電量分別為q₁和q₂的點電荷，q₁＝q₂＝q，兩點電荷到球心的距離均為a．由靜電感應與靜電屏蔽可知：導體空腔內表面將出現感應電荷分布，感應電荷電量等于－2q．空腔內部的電場是由q₁、q₂和兩者在空腔內表面上的感應電荷共同產生的．由于我們尚不知道這些感應電荷是怎樣分布的，所以很難用場強疊加原理直接求得腔內的電勢或場強．但理論上可以證明，感應電荷對腔內電場的貢獻，可用假想的位于腔外的（等效）點電荷來代替（在本題中假想(等效)點電荷應為兩個），只要假想的（等效）點電荷的位置和電量能滿足這樣的條件，即：設想將整個導體殼去掉，由q₁在原空腔內表面的感應電荷的假想（等效）點電荷與q₁共同產生的電場在原空腔內表面所在位置處各點的電勢皆為0；由q₂在原空腔內表面的感應電荷的假想（等效）點電荷與q₂共同產生的電場在原空腔內表面所在位置處各點的電勢皆為0．這樣確定的假想電荷叫做感應電荷的等效電荷，而且這樣確定的等效電荷是唯一的．等效電荷取代感應電荷后，可用等效電荷、和q₁、q₂來計算原來導體存在時空腔內部任意點的電勢或場強。

1．試根據上述條件，確定假想等效電荷、的位置及電量．

2．求空腔內部任意點A的電勢U_A．已知A點到球心O的距離為r，與的夾角為q 。

Answer 1

解析：

1．解法Ⅰ：

如圖1所示，S為原空腔內表面所在位置，的位置應位于的延長線上的某點B₁處，的位置應位于的延長線上的某點B₂處．設A₁為S面上的任意一點，根據題意有

          (1)

     (2)

怎樣才能使 (1) 式成立呢？下面分析圖1中與的關系．

若等效電荷的位置B₁使下式成立，即

                                                 (3)

即                                              (4)

則                        

有                          (5)

由 (1)式和 (5)式便可求得等效電荷    

                             (6)

由 (3) 式知，等效電荷的位置B₁到原球殼中心位置O的距離

                                 (7)

同理，B₂的位置應使，用類似的方法可求得等效電荷

                             (8)

等效電荷的位置B₂到原球殼中心O位置的距離

                                 (9)

解法Ⅱ：

在圖1中，設，，．根據題意，和兩者在A₁點產生的電勢和為零．有

                           （1＇）

式中

                          （2＇）

                     （3＇）

由（1＇）、（2＇）、（3＇）式得

                 （4＇）

（4＇）式是以為變量的一次多項式，要使（4＇）式對任意均成立，等號兩邊的相應系數應相等，即

                  （5＇）

                               （6＇）

由（5＇）、（6＇）式得

                     （7＇）

解得                      （8＇）

由于等效電荷位于空腔外部，由（8＇）式求得

                                                     （9＇）

由（6＇）、（9＇）式有

                                           （10＇）

考慮到（1＇）式，有

                              （11＇）

同理可求得

                             （12＇）

                                                  （13＇）                                                                            

2．A點的位置如圖2所示．A的電勢由q₁、、q₂、共同產生，即

     (10)

                                                                                                                                   

因            

   

代入 (10) 式得

  

     (11)

評分標準：

本題20分．第1問18分，解法Ⅰ中(1)、(2)、(6)、(7)、(8)、(9) 式各3分．解法Ⅱ的評分可參考解法Ⅰ．第2問2分，即(11)式2分．