Question

【題目】如圖所示，質量為M=4.5kg的長木板置于光滑水平地面上，質量為m=1.5kg的小物塊放在長木板的右端，在木板右側的地面上固定著一個有孔的彈性擋板，孔的尺寸剛好可以讓木板無接觸地穿過�，F使木板和物塊以v0=4m/s的速度一起向右勻速運動，物塊與擋板碰撞后立即以碰前的速率反向彈回，而木板穿過擋板上的孔繼續向右運動，整個過程中物塊不會從長木板上滑落。已知物塊與擋板第一次碰撞后，物塊離開擋板的最大距離為x1=1.6m，重力加速度g=10m/s2：

(1)求物塊與木板間的動摩擦因數；

(2)若物塊與擋板第n次碰撞后，物塊離開擋板的最大距離為xn=6.25×10-3m，求n；

(3)求長木板的長度至少應為多少？

Answer 1

【答案】(1)0.5；(2)5；(3)6.4m。

【解析】

⑴物塊與擋板第一次碰撞后，物塊向左減速到速度為0的過程中只有摩擦力做功，由動能定理得

－μmgx1=0－mv02 ①

解得

μ=0.5 ②

⑵物塊與擋板碰后，物塊與木板組成的系統動量守恒，取水平向右為正方向。

設第一次碰撞后系統的共同速度為v1，由動量守恒定律得

Mv0－mv0=(M＋m）v1 ③

v1==v0 ④

設物塊由速度為0加速到v1的過程中運動的位移為x1′

μmgx1′=mv12 ⑤

由①⑤式得

x1′=x1 ⑥

即物塊與擋板第二次碰撞之前，物塊與木板已經達到共同速度v1

第二次碰撞后，小物塊反彈后瞬間速度大小為v1

經一段時間系統的共同速度為

v2==v0

第三次碰撞后，小物塊反彈后瞬間速度大小為v2

經一段時間系統的共同速度為

v3==v0

第n次碰撞后，小物塊反彈后瞬間速度大小為

vn-1==v0 ⑦

由動能定理得

－μmgxn=0－mvn-12 ⑧

由①⑦⑧式得

n=5 ⑨

⑶由分析知，物塊多次與擋板碰撞后，最終將與木板同時都靜止。設物塊在木板上的相對位移為L，由能量守恒定律得

μmgL=（M＋m）v02 ⑩

解得

L=6.4m

即木板的長度至少應為6.4m。