Question

如圖所示，一塊足夠長的木板，放在光滑水平面上，在木板上自左向右放有序號是1、2、3、…、n的木塊，所有木塊的質量均為m，與木板間的動摩擦因數均為μ，木板的質量與所有木塊的總質量相等．在t=0時刻木板靜止，第l、2、3、…、n號木塊的初速度分別為v_o、2v_o、3v_o、…、nv_o，方向都向右．最終所有木塊與木板以共同速度勻速運動．試求：
（1）所有木塊與木板一起勻速運動的速度v_n
（2）從t=0到所有木塊與木板共同勻速運動經歷的時間t
（3）第（n-1）號木塊在整個運動過程中的最小速度v_n-1．

Answer 1

（1）木塊與木板組成的系統動量守恒，以木塊的初速度方向為正方向，
對系統，由動量守恒定律得：m（v_o+2v_o+3v_o+…+nv_o）=2nmv_n，
解得：v_n=

(n+1)v0

4

；
（2）第n號木塊始終做勻減速運動，所以對第n號木塊，
由動量定理得：-μmg t=mv_n-mnv_o，
解得：t=

(3n-1)v0

4μg

；
（3）第（n-1）號木塊與木板相對靜止時，它在整個運動過程中的速度最小，設此時第n號木塊的速度為v．
對系統，由動量守恒定律：m（v_o+2v_o+3v_o+…+nv_o）=（2n-1）m v_n-1+mv ①
對第n-1號木塊，由動量定理得：-μmg t′=m v_n-1-m（n-1）v_o②
對第n號木塊，由動量定理得：-μmg t′=mv-mnv_o③
由①②③式解得：v_n-1=

(n-1)(n+2)v0

4n

．
答：（1）所有木塊與木板一起勻速運動的速度v_n為

(n+1)v0

4

；
（2）從t=0到所有木塊與木板共同勻速運動經歷的時間t=

(3n-1)v0

4μg

；
（3）第（n-1）號木塊在整個運動過程中的最小速度v_n-1=

(n-1)(n+2)v0

4n

．