2009屆江蘇省蘇北十校期末聯考高三數學試題2009.1

必做題部分

(時間120分鐘,滿分160分)

一.填空題:本大題14小題,每小題5分,共70分.請將正確的答案填在答題紙上相應的橫線上.

1. 若復數z滿足（i是虛數單位），則z=__________.

2. 已知集合，，則            ．

3. 已知數列的前項和為，若，則       .

4. 已知，則       ．

5. 一組數據中每個數據都減去構成一組新數據，則這組新數據的平均數是，方差是，則原來一組數的方差為            .

6. 定義在R上的偶函數在上是增函數.若，則實數的取值范圍是                .

7. 函數（常數）為偶函數，且在上是單調遞減函數，則的值為_________.

8. 從集合中任取兩個元素、（），則方程所對應的曲線表示焦點在軸上的雙曲線的概率是 ­­­­­         ．

9. 已知為互相垂直的單位向量，，且與的夾角為銳角，則實數的取值范圍是____________.

10.若直線與圓相切，則實數的取值范圍是　　　　　．

11. 定義：若對定義域上的任意實數都有，則稱函數為上的零函數．根據以上定義，“是上的零函數或是上的零函數”為“與的積函數是上的零函數”的                   條件．

12. 已知為拋物線上一點，設到準線的距離為，到點的距離為，則的最小值為________.

13. 已知函數是偶函數，則函數圖像與軸交點的縱坐標的最大值是            ．

14. 三位同學合作學習，對問題“已知不等式對于恒成立,求的取值范圍”提出了各自的解題思路.

 甲說：“可視為變量，為常量來分析”.

 乙說：“尋找與的關系，再作分析”.

 丙說：“把字母單獨放在一邊，再作分析”.

參考上述思路，或自已的其它解法，可求出實數的取值范圍是          ．

二.解答題:本大題6小題,共90分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本大題14分,第一小題7分,第二小題7分)

如圖，在三棱柱中，四邊形為菱形，，四邊形為矩形，若且，

⑴求證：平面平面；

⑵求三棱柱的體積.

16. ( 本大題14分,第一小題7分,第二小題7分)

已知二次函數，若對任意x、x∈R，恒有2f(≤f(x)+f(x)成立，不等式f(x)<0的解集為A.

(1)求集合A；

(2)設集合，若集合B是集合A的子集，求的取值范圍.

17.( 本大題15分,第一小題7分,第二小題8分)

已知，在平面上對應的點

為.

（1）若，求的值；

（2）若，求的值.

18. ( 本大題15分,第一小題7分,第二小題8分)

⑴在長度為的線段上任意作一點，求的概率；

⑵若將長度為的線段截成三段，則三段長能圍成一個三角形的概率有多大.

19. ( 本大題16分,第一小題5分,第二小題5分,第三小題6分)

如圖，已知橢圓的焦點和上頂點分別為、、，我們稱為橢圓的特征三角形.如果兩個橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比.

（1）已知橢圓和，判斷與是否 

相似，如果相似則求出與的相似比，若不相似請說明理由；

（2）寫出與橢圓相似且半短軸長為的橢圓的方程，并列舉  

相似橢圓之間的三種性質（不需證明）；

（3）已知直線,在橢圓上是否存在兩點、關于直

線對稱，若存在，則求出函數的解析式.

20. ( 本大題16分,第一小題5分,第二小題5分,第三小題6分)

已知公差大于零的等差數列的前n項和為S_n，且滿足：，．

（1）求數列的通項公式；

（2）若數列是等差數列，且，求非零常數c；

（3）若(2)中的的前n項和為，求證：

數學附加題

(時間30分鐘,滿分40分)

一.選答題:本大題共4小題,請從這4題中選做2小題,如果多做,則按所做的前兩題記分.每小題10分,共20分.解答時應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

1．（幾何證明選講）

如圖，已知AD是ΔABC的外角ÐEAC的平分線，交BC的延長線于點D，延長DA 交ΔABC的外接圓于點F，連結FB、FC．

（1）求證：FB=FC；

（2）求證：FB²=FA?FD；

（3）若AB是ΔABC外接圓的直徑，ÐEAC=120°，  BC=6cm，求AD的長．

2．（不等式選講）

對于任意的實數和，不等式恒成立，試求實數的取值范圍.

3．（矩陣與變換）

設，若矩陣把直線：變換為另一直線：，求的值.

4．（坐標系與參數方程）

從極點作直線與另一直線相交于點，在上取一點，使.

⑴求點的軌跡方程；

⑵設為直線上任意一點，試求的最小值.

選做第_______題：

選做第_______題：

二.必答題:本大題共2小題,第一小題8分,第二小題12分,共20分.解答時應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

5． 已知數列滿足，且().

  ⑴求的值；

⑵由⑴猜想的通項公式，并給出證明.

6．學校文藝隊的每位隊員唱歌、跳舞至少會一項，已知會唱歌的有人，會跳舞的有人，現從中選人.設為選出的人中既會唱歌又會跳舞的人數，且.

  ⑴求文藝隊的人數；

⑵寫出的概率分布列并計算.

一.填空題:

1.     2.    3.  64    4.     5.      6.   

7.  1    8.    9.      10.     11.  充分非必要    12.  4 

 13.    4   14.  

二.解答題:

15.[解]：⑴略；⑵.

16. 解：(1)對任意x、x∈R，由≥0成立.

要使上式恒成立，所以。…………………………………………………3分

由f(x)=ax+x是二次函數知a≠0，故a＞0. ………………………………4分

解得�！�…………………………………………………………5分

(2) 解得，…………………………………………………6分

因為集合B是集合A的子集，所以…………………………8分

且，…………………………………………………………………11分

化簡得，解得………………14分

17. [解]：（1），

.

由得

，∵ ，∴或.      ---------7分

（2），得

     ，，.

  兩邊平方得，.

  ∴ 原式.---------14分

18. 解：（1）（2）

19. [解]：（1）橢圓與相似.

因為的特征三角形是腰長為4，底邊長為的等腰三角形，而橢圓的特征三角形是腰長為2，底邊長為的等腰三角形，因此兩個等腰三角形相似，且相似比為.       ------- 4分

（2）橢圓的方程為：.------------------------7分

兩個相似橢圓之間的性質有：                          寫出一個給1分

①     兩個相似橢圓的面積之比為相似比的平方；

②     分別以兩個相似橢圓的頂點為頂點的四邊形也相似，相似比即為橢圓的相似比；

③     兩個相似橢圓被同一條直線所截得的線段中點重合；

過原點的直線截相似橢圓所得線段長度之比恰為橢圓的相似比.    ----10分

（3）假定存在，則設、所在直線為，中點為.

則.-------------------12分

所以.

中點在直線上，所以有.-------------16分

.

.-------------18分

20.解：（1）為等差數列，∵，又，

∴ ，是方程的兩個根

又公差，∴，∴， ……………………………………   2分

∴    ∴   ∴……………………………………  4分

（2）由(1)知， ………………………………………… 5分

∴ ………………………………………………………………   6分

∴，， ………………………………………………  8分

∵是等差數列，∴，∴ ……………………………     9分

∴（舍去） …………………………………………………………… 10分

（3）由(2)得 ………………………………………………………… 12分

  ，時取等號 ………… 15分

，時取等號…17分

(1)、(2)式中等號不可能同時取到，所以 ………………… 18分

附加題:

1. 解：（1）∵AD平分ÐEAC，∴ÐEAD=ÐDAC．

∵四邊形AFBC內接于圓，∴ÐDAC=ÐFBC．

    ∵ÐEAD=ÐFAB=ÐFCB，∴ÐFBC=ÐFCB，∴FB=FC．

（2）∵ÐFAB=ÐFCB=ÐFBC ，ÐAFB=ÐBFD，

     ∴ΔFBA∽ΔFDB．∴，∴FB²=FA?FD．

（3）∵AB是圓的直徑，∴ÐACB=90°．

     ∵ÐEAC=120°， ∴ÐDAC=ÐEAC=60°，ÐBAC=60°．∴ÐD=30°．

     ∵BC= 6， ∴AC=． ∴AD=2AC=cm．