例談求一次函數解析式的常見題型

  時勇

    一次函數及其圖像是初中代數的重要內容，也是高中解析幾何的基石，更是中考的重點考查內容。其中求一次函數解析式就是一類常見題型。現以部分中考題為例介紹幾種求一次函數解析式的常見題型。希望對同學們的學習有所幫助。

一. 定義型

    例1. 已知函數是一次函數，求其解析式。

    解：由一次函數定義知

    ，故一次函數的解析式為

    注意：利用定義求一次函數解析式時，要保證。如本例中應保證

二. 點斜型

    例2. 已知一次函數的圖像過點（2，－1），求這個函數的解析式。

    解：一次函數的圖像過點（2，－1）

    ，即

    故這個一次函數的解析式為

    變式問法：已知一次函數，當時，y＝－1，求這個函數的解析式。

三. 兩點型

    已知某個一次函數的圖像與x軸、y軸的交點坐標分別是（－2，0）、（0，4），則這個函數的解析式為_____________。

    解：設一次函數解析式為

    由題意得

    故這個一次函數的解析式為

四. 圖像型

    例4. 已知某個一次函數的圖像如圖所示，則該函數的解析式為__________。

    解：設一次函數解析式為

    由圖可知一次函數的圖像過點（1，0）、（0，2）

    有

    故這個一次函數的解析式為

五. 斜截型

    例5. 已知直線與直線平行，且在y軸上的截距為2，則直線的解析式為___________。

    解析：兩條直線：；：。當，時，

    直線與直線平行，。

    又直線在y軸上的截距為2，

    故直線的解析式為

六. 平移型

    例6. 把直線向下平移2個單位得到的圖像解析式為___________。

    解析：設函數解析式為，直線向下平移2個單位得到的直線與直線平行

    直線在y軸上的截距為，故圖像解析式為

七. 實際應用型

    例7. 某油箱中存油20升，油從管道中勻速流出，流速為0.2升/分鐘，則油箱中剩油量Q（升）與流出時間t（分鐘）的函數關系式為___________。

    解：由題意得，即

    故所求函數的解析式為（）

    注意：求實際應用型問題的函數關系式要寫出自變量的取值范圍。

八. 面積型

    例8. 已知直線與兩坐標軸所圍成的三角形面積等于4，則直線解析式為__________。

    解：易求得直線與x軸交點為（，0），所以，所以，即

    故直線解析式為或

九. 對稱型

    若直線與直線關于

    （1）x軸對稱，則直線l的解析式為

    （2）y軸對稱，則直線l的解析式為

    （3）直線y＝x對稱，則直線l的解析式為

    （4）直線對稱，則直線l的解析式為

    （5）原點對稱，則直線l的解析式為

    例9. 若直線l與直線關于y軸對稱，則直線l的解析式為____________。

    解：由（2）得直線l的解析式為

十. 開放型

    例10. 已知函數的圖像過點A（1，4），B（2，2）兩點，請寫出滿足上述條件的兩個不同的函數解析式，并簡要說明解答過程。

    解：（1）若經過A、B兩點的函數圖像是直線，由兩點式易得

    （2）由于A、B兩點的橫、縱坐標的積都等于4，所以經過A、B兩點的函數圖像還可以是雙曲線，解析式為

    （3）其它（略）

十一. 幾何型

    例11. 如圖，在平面直角坐標系中，A、B是x軸上的兩點，，，以AO、BO為直徑的半圓分別交AC、BC于E、F兩點，若C點的坐標為（0，3）。（1）求圖像過A、B、C三點的二次函數的解析式，并求其對稱軸；（2）求圖像過點E、F的一次函數的解析式。

    解：（1）由直角三角形的知識易得點A（，0）、B（，0），由待定系數法可求得二次函數解析式為，對稱軸是

    （2）連結OE、OF，則、。過E、F分別作x、y軸的垂線，垂足為M、N、P、G，易求得E（，）、F（，）由待定系數法可求得一次函數解析式為

十二. 方程型

    例12. 若方程的兩根分別為，求經過點P（，）和Q（，）的一次函數圖像的解析式

    解：由根與系數的關系得，

    ，

    點P（11，3）、Q（－11，11）

    設過點P、Q的一次函數的解析式為

    則有

    解得

    故這個一次函數的解析式為

十三. 綜合型

    例13. 已知拋物線的頂點D在雙曲線上，直線經過點D和點C（a、b）且使y隨x的增大而減小，a、b滿足方程組，求這條直線的解析式。

    解：由拋物線的頂點D（）在雙曲線上，可求得拋物線的解析式為：

    ，頂點D₁（1，－5）及

    頂點D₂（，－15）

    解方程組得，

    即C₁（－1，－4），C₂（2，－1）

    由題意知C點就是C₁（－1，－4），所以過C₁、D₁的直線是；過C₁、D₂的直線是