分類討論在相似形中的應用

馬健

    在我們的幾何題目中，有許多問題需要分類討論，常因不會分類、分類不確切或討論不全面發生漏解。只有全面掌握基礎知識和經過嚴密思考，找準解題的切入點，才能使得出的結論不重復、不遺漏。下面就相似形中的幾個問題加以說明。

  例1. 已知兩數4和8，試寫出第三個數，使這三個數中，其中一個數是另外兩個數的比例中項，則第三個數為_____________。

    析：這是一道開放性題目，它需分幾種情況討論。不妨設第三個數為x，

    由可得；

    由得；

    由可得。

    故第三個數為2，或16，或。

  例2. 若，求x的值。

    析：利用合比性質，當，此時

    又當時，可得出

    此時

    故x的值為，或。

  例3. 要做兩個形狀相同的三角形框架，其中一個三角形框架的三邊長分別為4、5、6，另一個三角形框架的一邊長為2，怎樣選料，可使這兩個三角形相似。

    析：本題中長為2的邊長可以分別與長為4、5、6的邊對應。

    設另兩邊分別為x、y。于是得出：

    得：；

    得：；

    得：。

    所以框架另兩邊長可選，或，或。

  例4. 如圖1，，點M在AB上且，點N在AC上，聯結MN，使△AMN與原三角形相似，則AN＝___________。

    析：當MN∥BC時，△AMN∽△ABC，可得：

    ，即

    故

    當MN不平行于BC時，∠AMN＝∠C時，△AMN∽△ACB，可得：

    ，即，得

    故AN長為2，或

  例5. 若正方形的四個頂點分別在直角三角形的三條邊上，直角三角形的兩條直角邊長分別為3cm和4cm，則此正方形的邊長為____________。

    析：這是一道操作、設計型開放題，可分兩種情況：（1）是正方形一角為直角三角形的直角時，如圖2，由相似可得出：；（2）是兩個頂點在斜邊上，如圖3，由相似可得出：。所以此正方形的邊長為，或。