根的定義用處大

許國泰

    大家知道，

    如果是方程的兩個根，則有

    反之，若，則是方程

    例1  已知，則一元二次方程一定有一個實數根x=___________。

    分析  當時，有。根據方程根的定義，一元二次方程一定有一個實數根。

    例2  不解方程，求作一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程的兩根的5倍。

    分析  通常情況下，本題可利用一元二次方程的根與系數的關系來解。如果利用根的定義來解也比較簡單。

    解  設a是方程的一個根，y表示所求方程的一個根，則

    根據方程的根的定義，有

    即

    故所求方程為

    例3  已知方程有一個根是方程的某個根的2倍，求m的值。

    分析  每個方程最多有兩個根，若由“方程(1)的一個根是方程(2)的某個根的2倍”及求根公式寫出它們的根，則可組合出4個關于m的無理方程，要求m的值顯然很繁。利用方程根的定義來解，可以輕松求出m的值。

    解  設與分別是方程的根。

    由根的定義，得

    例4  已知是方程的兩實數根，則________。

    分析  代數式不是關于的對稱多項式，無法將其化成關于，的代數式來解。由根的定義，知

    所以

    由根與系數的關系，知

    所以

    例5  已知一元二次方程的兩根之和為p，兩根的平方和為q，兩根的立方和為r。求ar+bq+cp的值。

    分析  設的兩個根，根據方程根的定義，得

    這時

   所以ar+bq+cp

    例6  已知的值。

    分析  由

    方程兩邊同時除以，得

    比較可以看成是方程的根。

    又

   故

    所以

    例7  已知，其中m,n為實數，則=_____

    解：由

    （1）當

    （2）當

    例8  設t是一元二次方程的一個實數根，則判別式與平方式的大小關系是___________。

    解  由t是一元二次方程的一個實數根，得

    所以