2009年福建省寧德市普通高中畢業班質量檢查
數學（理科）試卷
本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，本卷滿分150分，考試時間120分鐘。
注意事項：
1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2．考生作答時，將答案答在答題卡上。請按照題號在各題的答題區域（黑色線框）內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效。
3．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳酸筆書寫，字體工整、筆跡清楚。
4．做選考題時，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答案題卡上把所選題目對應的題號涂黑。
5．保持答題卡卡面的清楚，不折疊、不破損，考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
參考公式：
錐體的體積公式：
，其中
為底面面積，
為高；
球的表面積、體積公式：
，
，其中
為球的半徑。
第I卷（選擇題 共50分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知集合
則
=
A．
B．
C．
D．R
2．
為虛數單位，則復數
在復平面內對應的點位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在等比數列
中，若
，則該數列的前6項和為
A．56 B．
4．已知一個算法的程序框圖如圖所示，當輸出的結
果為0時，輸入的
的值為
A．―1或1 B．―2或0
C．―2或1 D．―1或0
5．若拋物線
的焦點與雙曲線
的
右焦點重合，則
的值為
A．3 B．
D．
6．設
為直線
的方向向量，
為平面
的法向量，
則
是
的
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分也非必要條件
7．右圖是一個多面體的三視圖，則其全面積為
A．
B．
C．
D．
r
8．設函數
的部分圖象
如圖所示，直線
是它的一條對稱軸，則函數
的解析式為
A．
B．
C．
D．
9．函數是定義域為R的奇函數，且
時，
，則函數的零點個數是
A．1
B．
10．已知四邊形
是邊長為1的正方形，
，點
為
內（含邊界）的動點，設
，則
的最大值等于
A．1
B．
第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填寫在答題卡的相應位置。
11．計算：
___________
12．為了解某校教師使用多媒體進行教學的情況，采用簡單隨機抽樣的方法，從該校200名授課教師中抽取20名教師，調查了他們上學期使用多媒體進行教學的次數，結果用莖葉圖表示如下：
據此可估計該校上學期200名教師中，使用多媒體進行教學次數在
內的人數為_____________。
13．
的展開式中各項系數和為64，則展開式的常數項為____________。
14．直線
與軸、 
軸分別交于
、
兩點，
為原點，在
中隨機取一點
，則取出的點滿足
的概率為_______________。
15．已知
，數列
的各項都為整數，其前項和為
，若點
在函數
或
的圖象上，且當為偶數時，
則
=______________。
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟。
16．（本小題滿分13分）
袋中裝有標號分別為1、2、3、4、5、6的卡片各1張，從中任取兩張卡片，其標號分別記為、（其中
）。
（I）求這兩張卡片的標號之和為偶數的概率；
（Ⅱ）設
，求隨機變量
的概率分布列與數學期望。
17．（本小題滿分13分）
如圖，四棱錐
的底面
為菱形，
平面，
，
、
分別為
、
的中點。
（I）求證：
平面
；
（Ⅱ）求三棱錐
的體積；
（Ⅲ）求平面與平面
所成的銳二面角大小的余弦值。
18．（本小題滿分13分）
如圖所示，某動物園要為剛入園的小老虎建造一間兩面靠
墻的三角形露天活動室，已知已有兩面墻的夾角為60°（即
），現有可供建造第三面圍墻的材料
長均大于
角形露天活動室盡可能大，記
，問當
為多少時，所
建造的三角形露天活動室的面積最大？
19．（本小題滿分13分）
已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點的距離的最小值為
，離心率為
。
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點（1，0）作直線交于、
兩點，試問：在軸上是否存在一個定點
，
使
為定值？若存在，求出這個定點的坐標；若不存在，請說明理由。
20．（本小題滿分14分）
已知函數
的圖象過點
,且在該點處切線的傾斜角為45°
（I）使用表示
；
（Ⅱ）若在
上為單調遞增函數，求的取值范圍；
（Ⅲ）當
時，設
，若存在
，使得
，試求
的取值范圍。
21．本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題記分。
（1）（本小題滿分7分）選修4―2；矩陣與變換選做題
直角坐標系
中，點（2，-2）在矩陣
對應變換作用下得到點（-2，4），
曲線
在矩陣對應變換作用下得到曲線
，求曲線的方程。
（2）（本小題滿分7分）選修4―4：坐標系與參數方程選做題
在極坐標系中，圓
的方程為
，直線
，求圓心到
直線的距離。
（3）（本小題滿分7分）選修4―5：不等式選講選做題
已知正實數
，
，
滿足
，求
的最小值。
2009年寧德市普通高中畢業班質量檢查
說明：
一、本解答指出了每題要考察的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如
果考生的解法與本解法不同，可根據試題的主要考察內容比照評分標準指定相應的評分細
則。
二、對計算題，當考生的解答在某一部分解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程
度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數的一半；如果后繼部分的解答
有較嚴重的錯誤，就不再給分。
三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數。
四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分。
一、選擇題：本涂考察基礎知識和基本運算，每小題5分，滿分50分。
1．A 2．A 3．B 4．C 5．B 6．B 7．C 8．D 9．C 10．D
二、填空題：本題考察基礎知識和基本運算，每小題4分，滿分20分。
11．
12．60 13．-540 14．
15．820
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟。
16．本小題主要考察概率統計的基礎知識，運用數學知識解決問題的能力，以及推理與運算
能力。滿分13分。
（I）
、
同奇的取法有
種，同偶的取法有?????????????????????????????????????? 2分
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
（Ⅱ）
，
??????????????????????? 10分
其分布列為
1
2
3
4
5
????????????????????????????????????? 13分
17．本小題主要考察直線與平面的位置關系，二面角的大小，體積的計算等知識，考察空間
想象能力、邏輯思維能力和運算能力，滿分13分。
（I）連結BD，由已知得BD=2，
在正三角形BCD中，BE=EC，
，又
，
…………………………2分
又
平面
，
，…………………………3分
，
平面PAD�！�4分
（Ⅱ）
，
且
，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
??????????????????????????????????? 8分
（Ⅲ）證法一：如圖建立空間直角坐標系
，
則由（I）知平面
的一個法向量為
，
設平面PBC的法向量為
，
由
取
得
???????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分
?????????????????????????????????????????????????? 12分
平面PAD與平面PBC所成的銳二面角大小的余弦值為
??????????????????????? 13分
證法二：由（I）知
平面
平面
，
平面
平面???????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
又
平面
又
平面
平面
平面???????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分
就是平面與平面所成二面角的平面角???????????????????????????? 11分
在
中，
?????????????????????????????????????????????????????????????????? 13分
18．本小題主要考察兩角和差公式，二倍角公式，同角三角函數關系，解斜三角形的基本知
識以及推理能力、運算能力和應用能力，滿分13分。
解：在
中，
????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
化簡得：
???????????????????????????????????????????????????????????? 4分
所以
????????????????????????? 6分
???????????????????? 8分
即
???????????????????????????????????????????????????????? 10分
所以當
即
時，
=
???????????????????????????????????? 12分
答：當
時，所建造的三角形露天活動室的面積最大。?????????????????????????? 13分
19．本題主要考查直線、橢圓、向量等基礎知識，考查曲線方程的求法以及研究曲線的定性
定量的基本方法，考查運算能力、探究能力和綜合解題能力，滿分13分。
解：（I）設橢圓E的方程為
由已知得：
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
橢圓E的方程為
??????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
（Ⅱ）法一：假設存在符合條件的點
，又設
，則：
????????????????????????????????????????????????? 5分
①當直線
的斜率存在時，設直線的方程為：
，則
由
得
???????????????????????????????????????????????????????? 7分
所以
????????????????????????????????????????????? 9分
對于任意的
值，
為定值，
所以
，得
，
所以
；??????????????????????????????????????????????????????????? 11分
②當直線的斜率不存在時，直線
由得
綜上述①②知，符合條件的點
存在，起坐標為
。????????????????????????????? 13分
法二：假設存在符合條件的點，又設
則：
=
????????????????????????????????????????????????? 5分
①當直線的斜率不為0時，設直線的方程為
，
由
得
?????????????????????????????????????????????????????????? 7分
????????????????????????????????????????????????? 9分
設
則
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分
②當直線的斜率為0時，直線
，由
得：
綜上述①②知，符合條件的點存在，其坐標為???????????????????????????????? 13分
20．本題考查函數、導數、數列的基本知識及其應用等知識，考查化歸的數學思想方法以及
推理和運算能力�？疾檫\用數學知識分析和解決問題的能力，滿分14分。
解：（I）
?????????????????????????????????????????? 2分
由已知得：
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）方法一：由（I）得
在
上為單調增函數，則
恒成立，
即
對
恒成立。
即
對恒成立，????????????????????????????????????????????????????????? 7分
令
，
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9
方法二：同方法一。
令
當
時
，
在單調遞增，
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
（Ⅲ）方法一：
?????????????????????????????????????????????????????? 10分
當
時，
，
當
時，
，??????????????????????????????????????????????? 12分
…
根據題意可知
??????????????????????????????????????? 14分
方法二：同方法一，
???????????????????????????????????????? 10分
當時，
當時，
???????????????????????????????????????????????????? 12分
…
根據題意可知??????????????????????????????????????? 14分
方法三：設
是數列
中的最大項，則
??????????????????????????? 12分
為最大項，
所以?????????????????????????????????????????????????? 14分
以下同上
21．本題考查，本題滿分14分
（I）本題主要考查矩陣與變換、曲線在矩陣變換下的曲線的方程，考查運算求解能力及化
歸與轉化思想，滿分7分。
解：
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
，即
???????????????????????????????????????????????????????? 4分
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
曲線
的方程為
??????????????????????????????????????????????????????????? 7分
（Ⅱ）本題主要考查直線和圓的極坐標方程，考查運算求解能力及化歸與轉化思想，滿分7
分。
解：
即
???????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
圓心的坐標為
??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
，即
???????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
圓心到直線的距離為1?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分
（Ⅲ）本題主要考查利用常見不等式求條件最值，考查化歸與轉化思想，滿分7分
解：
????????????????????????????????????????? 3分
?????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
當且僅當
即
時取到“=”號，
當時
的最小值為
??????????????????????????????? 7分
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com