撫州一中2009屆高三第四次模擬考試
數學試卷(文)
命題人 :高三數學組 考試時間 :2009.5
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.設集合,則
等于 ( 。
2.若曲線的一條切線
的斜率為
,則切線
的方程是 。ā 。
3.已知三條不重合的直線,兩個不重合的平面
,有下列命題
①,
; ②
,
,
;
③;
④,
,
,
.
其中正確的命題個數是 。ā 。
4.從圓外一點
向這個圓作兩條切線,則兩切線夾角的余弦值為( )
5.若關于的不等式
+4的解集是
,則對任意實常數
,總有( )
6.已知,且
,其中
,則
的值有可能是( 。
或
或
或
7.設為
所在平面內一點,且
,則
的面積與
的面積之比為 ( )
8.二項式展開式中,所有有理項(不含
的項)的系數之和為 ( )
9.五人爭奪某項比賽的前三名,組織者對前三名發給不同的獎品,若
獲獎,
不是第一名,則不同的發獎方式共有 ( )
72種
30種
24種
14種
10.數列滿足:
,
,
若
對于任意都成立,則正整數
的最小值為( )www.gongchengfu.com
11.在直角坐標系中,過雙曲線
的左焦點
作圓
的一條切線(切點為
)交雙曲線右支于點
,若
為
的中點。則
等于( )
12.若實數滿足
,則 。 )
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分.把答案填在題中橫線上.
13.將函數按向量
平移后得到的函數表達式是
;
14.已知點A,B,C,D在同一球面上,AB平面
,
,若
,
,
,則B、C兩點間的球面距離是 ;
15.如果點在不等式組
所表示的平面區域內,則
的取值范圍是 ;
16.已知函數與
的圖象關于直線
對稱,
設,若
在區間
上是增函數,則實數
的取值范圍是
.
三、解答題:本大題共6小題,共74分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
17.(本題滿分12分)
已知四棱錐的底面
是正方形,側棱
的中點
在底面內的射影恰好是正方形
的中心
,頂點
在截面
內的射影恰好是
的重心
.
(1)求直線
與底面
所成角的正切值;
(2)設,求此四棱錐過點
的截面面積.
18.(本題滿分12分)
某工廠由于工作失誤,未貼標簽前,把3箱含“三聚氰胺”的問題牛奶與合格的3箱牛
奶混到了一起。對這6箱牛奶逐箱進行檢測,到確定出3箱問題奶粉為止。
(1)求通過3次檢測,就可以把3箱含“三聚氰胺”的牛奶全部篩選出來的概率;
(2)求最多通過4次檢測,就可以把3箱含“三聚氰胺”的牛奶全部篩選很出來的概率。
19.(本題滿分12分)
在銳角中,已知
,且
,
.
(1)求角與
的大;
(2)是以
為圓心,
為半徑的圓的直徑,已知
,求
的最大值.
20.(本題滿分12分)
已知函數,
,其中
,
,設
為
的極小值點,
為
的極值點,
,并且
,將點
,
,
,
依次記為
.
(1)求的值;
(2)若四邊形為梯形且面積為
,求
的值.
21.(本題滿分12分)
已知橢圓的方程為
,雙曲線
的左、右焦點分別為
的左、右頂點,而
的左、右頂點分別是
的左、右焦點.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若直線與橢圓
及雙曲線
都恒有兩個不同的交點,且
與
的兩個交點A和B滿足
(其中
為原點),求k的取值范圍.
22.(本題滿分14分)
數列的通項是關于
的不等式
的解集中整數的個數,
.
(1)求數列的通項公式;
(2) 若,求
的和
;
(3) 求證:對且
恒有
.
撫州一中2009屆高三第四次模擬考試
一、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
B
D
D
C
A
A
B
A
C
D
二、填空題13.;
14.
; 15.
; 16.
.
三、解答題
17.(1)
兩兩相互垂直, 連結
并延長交
于F.
同理可得
------------ (6分)
(2)是
的重心, F是SB的中點
梯形的高
--- (12分)
【注】可以用空間向量的方法
18.解:
(1)設通過3次檢測,就可以把3箱含“三聚氰胺”的牛奶全部篩選出來的事件為A
1分
P(A)=
5分
所以通過3次檢測,就可以把3箱含“三聚氰胺”的牛奶全部篩選出來的概率為…6分
(2)設最多通過4次檢測,就可以把3箱含“三聚氰胺”的牛奶全部篩選出來的事件為B … 7分
P(B)=
11分
所以最多通過4次檢測,就可以把3箱含“三聚氰胺”的牛奶全部篩選出來的概率為… 12分
19.(1).
又.
.………6分
(2)
又,
.從而
當且同向時,
.………12分
20.解:(1) ,
令,由
得
或
.
.
.
當時,
,當
時,
,所以
處取極小值,即
…………4分
(2)
處取得極小值,即
由
即
由四邊形ABCD是梯形及BC與AD不平行,得.有
即
由四邊形ABCD的面積為1,得即
得
,從而
得
……12分
21.(1)設雙曲線C2的方程為= 1,則a2 = 4 ? 1 = 3,再由a2 + b2
= c2得b2 = 1.故C2的方程為
= 1. (5分)
(2)將y = kx +代入
得(1 +
4k2)x2 + 8
kx + 4 = 0,由直線l與橢圓C1恒有兩個不同的交點得
(8
)2k2 ? 16 (1 + 4k2)
= 16(4k2 ? 1)>0,即k2>
.①(7分)
將y = kx + 代入
得(1 ?
3k2)x2 ? 6
kx ? 9 = 0.由直線l與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A、B得
.即k≠
且k2<1.②(9分)
設A (xA,yA),B (xB,yB),則xA + xB
= ,xA,xB =
,由
得xA xB +
yA yB<6,而xA xB +
yA yB = xA xB + (kxA +
)
(kxb +
)=
(k2 + 1) xA xB +
k
(xA + xB)
+ 2 = (k2 + 1)?
,于是
<6,即將
.解此不等式得
或
.
③ (11分)
由①、②、③得,
故k的取值范圍為. (12分)
22.(1).
(2),
則,
.
(3),
即 、
又由于,
則,
兩式相減得,
,
當
且
時是增函數,
的最小值是
, 、
由①②得: 成立.
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