2005年普通高等學校招生全國統一考試（遼寧卷）
數 學
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇）題兩部分，滿分150分.考試用時120分鐘.
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面積公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互獨立，那么
P(A?B)=P(A)?P(B) 其中R表示球的半徑
如果事件A在一次試驗中發生的概率是 球的體積公式
P，那么n次獨立重復試驗中恰好發生k
次的概率 其中R表示球的半徑
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．復數在復平面內，z所對應的點在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．極限存在是函數在點處連續的 （ ）
A．充分而不必要的條件 B．必要而不充分的條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要的條件
3．設袋中有80個紅球，20個白球，若從袋中任取10個球，則其中恰有6個紅球的概率為
（ ）
A． B． C． D．
4．已知m、n是兩條不重合的直線，α、β、γ是三個兩兩不重合的平面，給出下列四個命
題：①若； ②若；
③若；
④若m、n是異面直線，
其中真命題是 （ ）
A．①和② B．①和③ C．③和④ D．①和④
5．函數的反函數是 （ ）
A． B． C． D．
6．若，則的取值范圍是 （ ）
A． B． C． D．
7．在R上定義運算若不等式對任意實數成立，
則 （ ）
A． B． C． D．
8．若鈍角三角形三內角的度數成等差數列，且最大邊長與最小邊長的比值為m，則m的范
圍是 （ ）
A．（1，2） B．（2，+∞） C．[3，+∞ D．（3，+∞）
9．若直線按向量平移后與圓相切，則c的值為（ ）
A．8或－2 B．6或－4 C．4或－6 D．2或－8
10．已知是定義在R上的單調函數，實數，
，若，則 （ ）
A． B． C． D．
11．已知雙曲線的中心在原點，離心率為.若它的一條準線與拋物線的準線重合，
則該雙曲線與拋物線的交點到原點的距離是 （ ）
A．2+ B． C． D．21
12．一給定函數的圖象在下列圖中，并且對任意，由關系式得到的數列滿足，則該函數的圖象是 （ ）
A B C D
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.
13．的展開式中常數項是 .
14．如圖，正方體的棱長為1，C、D分別是兩條棱的中點，
A、B、M是頂點，那么點M到截面ABCD的距離是 .
15．用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復數字的八位數，要求1和2相鄰，3與4相鄰，
5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數共有 個.（用數字作答）
16．是正實數，設是奇函數}，若對每個實數，的元素不超過2個，且有使含2個元素，則的取值范圍是 .
已知三棱錐P―ABC中，E、F分別是AC、AB的中點，
△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB.
（Ⅰ）證明PC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角P―AB―C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）若點P、A、B、C在一個表面積為12π的
球面上，求△ABC的邊長.
如圖，在直徑為1的圓O中，作一關于圓心對稱、
鄰邊互相垂直的十字形，其中
（Ⅰ）將十字形的面積表示為的函數；
（Ⅱ）為何值時，十字形的面積最大？最大面積是多少？
三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
19．（本小題滿分12分）
已知函數設數列}滿足，數列}滿足
（Ⅰ）用數學歸納法證明；
（Ⅱ）證明
20．（本小題滿分12分）
（Ⅰ）已知甲、乙兩種產品每一道工序的加工結
果為A級的概率如表一所示，分別求生產
出的甲、乙產品為一等品的概率P甲、P乙；
（Ⅱ）已知一件產品的利潤如表二所示，用ξ、
（I）的條件下，求ξ、η的分布列及
Eξ、Eη；
（Ⅲ）已知生產一件產品需用的工人數和資金額
如表三所示.該工廠有工人40名，可用資.
金60萬元.設x、y分別表示生產甲、乙產
值時，最大？最大值是多少？
（解答時須給出圖示）
21．（本小題滿分14分）
（Ⅰ）設為點P的橫坐標，證明；
（Ⅱ）求點T的軌跡C的方程；
（Ⅲ）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M，
使△F1MF2的面積S=若存在，求∠F1MF2
的正切值；若不存在，請說明理由.
22．（本小題滿分12分）
函數在區間（0，+∞）內可導，導函數是減函數，且 設
是曲線在點（）得的切線方程，并設函數
（Ⅰ）用、、表示m；
（Ⅱ）證明：當；
（Ⅲ）若關于的不等式上恒成立，其中a、b為實數，
求b的取值范圍及a與b所滿足的關系.
2005年普通高等學校招生全國統一考試（遼寧卷）
說明：
一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則。
二、對解答題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分。
三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數。
四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分。
一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分60分.
1.B 2.B 3.D 4.D 5.C 6.C 7.C 8.B 9.A 10.A 11.B 12.A
二、填空題：本題考查基本知識和基本運算。每小題4分，滿分16分。
13．－160 14． 15．576 16．
三、解答題
17．本小題主要考查空間中的線面關系，三棱錐、球的有關概念及解三角形等基礎知識，考
（Ⅰ）證明： 連結CF.
……4分
（Ⅱ）解法一：
為所求二面角的平面角. 設AB=a，則AB=a，則
……………………8分
解法二：設P在平面ABC內的射影為O. ≌≌
得PA=PB=PC. 于是O是△ABC的中心. 為所求二面角的平面角.
設AB=a，則 …………8分
（Ⅲ）解法一：設PA=x，球半徑為R.
，的邊長為.………12分
解法二：延長PO交球面于D，那么PD是球的直徑.
連結OA、AD，可知△PAD為直角三角形. 設AB=x，球半徑為R.
.……12分
18．本小題主要考查根據圖形建立函數關系、三角函數公式、用反三角函數表示角以及解和
三角函數有關的極值問題等基礎知識，考查綜合運用三角函數知識的能力. 滿分12分.
（Ⅰ）解：設S為十字形的面積，則
………………4分
（Ⅱ）解法一：
其中………8分 當最大.……10分
所以，當最大. S的最大值為…………12分
解法二： 因為 所以
……………………8分
令S′=0，即
可解得 ………………10分
所以，當時，S最大，S的最大值為 …………12分
19．本小題主要考查數列、等比數列、不等式等基本知識，考查運用數學歸納法解決有關問題的能力，滿分12分。
（Ⅰ）證明：當 因為a1=1，
所以 ………………2分
下面用數學歸納法證明不等式
（1）當n=1時，b1=，不等式成立，
（2）假設當n=k時，不等式成立，即
那么 ………………6分
所以，當n=k+1時，不等也成立。
根據（1）和（2），可知不等式對任意n∈N*都成立。 …………8分
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，
所以
…………10分
故對任意………………（12分）
20．（本小題主要考查相互獨立事件的概率、隨機變量的分布列及期望、線性規劃模型的建
立與求解等基礎知識，考查通過建立簡單的數學模型以解決實際問題的能力，滿分12
分.
（Ⅰ）解：…………2分
（Ⅱ）解：隨機變量、的分別列是
5
2.5
P
0.68
0.32
2.5
1.5
P
0.6
0.4
…………6分
作出可行域（如圖）：
作直線
將l向右上方平移至l1位置時，直線經過可行域上
的點M點與原點距離最大，此時 …………10分
取最大值. 解方程組
得即時，z取最大值，z的最大值為25.2 .……………12分
21．本小題主要考查平面向量的概率，橢圓的定義、標準方程和有關性質，軌跡的求法和應
用，以及綜合運用數學知識解決問題的能力.滿分14分.
由P在橢圓上，得
由，所以 ………………………3分
證法二：設點P的坐標為記
則
由
證法三：設點P的坐標為橢圓的左準線方程為
由橢圓第二定義得，即
由，所以…………………………3分
（Ⅱ）解法一：設點T的坐標為
當時，點（，0）和點（－，0）在軌跡上.
當|時，由，得.
又，所以T為線段F2Q的中點.
在△QF1F2中，，所以有
綜上所述，點T的軌跡C的方程是…………………………7分
解法二：設點T的坐標為 當時，點（，0）和點（－，0）在軌跡上.
當|時，由，得.
又，所以T為線段F2Q的中點.
設點Q的坐標為（），則
因此 ①
由得 ②
將①代入②，可得
綜上所述，點T的軌跡C的方程是……………………7分
（Ⅲ）解法一：C上存在點M（）使S=的充要條件是
由③得，由④得 所以，當時，存在點M，使S=；
當時，不存在滿足條件的點M.………………………11分
當時，，
由，
，
，得
解法二：C上存在點M（）使S=的充要條件是
由④得 上式代入③得
于是，當時，存在點M，使S=；
當時，不存在滿足條件的點M.………………………11分
當時，記，
由知，所以…………14分
22．本小題考查導數概念的幾何意義，函數極值、最值的判定以及靈活運用數形結合的思想判斷函數之間的大小關系.考查學生的學習能力、抽象思維能力及綜合運用數學基本關系解決問題的能力.滿分12分
（Ⅰ）解：…………………………………………2分
（Ⅱ）證明：令
因為遞減，所以遞增，因此，當；
當.所以是唯一的極值點，且是極小值點，可知的
最小值為0，因此即…………………………6分
（Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要條件，以下討論設此條件成立.
對任意成立的充要條件是
另一方面，由于滿足前述題設中關于函數的條件，利用（II）的結果可知，的充要條件是：過點（0，）與曲線相切的直線的斜率大于，該切線的方程為
于是的充要條件是…………………………10分
綜上，不等式對任意成立的充要條件是
①
顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式 ②
有解、解不等式②得 ③
因此，③式即為b的取值范圍，①式即為實數在a與b所滿足的關系.…………12分
（Ⅲ）解法二：是不等式成立的必要條件，以下討論設此條件成立.
對任意成立的充要條件是
………………………………………………………………8分
令，于是對任意成立的充要條件是
由
當時當時，，所以，當時，取最小值.因此成立的充要條件是，即………………10分
綜上，不等式對任意成立的充要條件是
①
顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式 ②
有解、解不等式②得
因此，③式即為b的取值范圍，①式即為實數在a與b所滿足的關系.…………12分
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