2004年普通高等學校招生全國統一考試

文科數學（必修+選修Ⅰ）

 

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分. 共150分. 考試時間120分鐘.

 

第I卷 

文本框: 球的表面積公式 S=4 其中R表示球的半徑， 球的體積公式 V= 其中R表示球的半徑 參考公式：

       如果事件A、B互斥，那么

P（A+B）=P（A）+P（B）

       如果事件A、B相互獨立，那么

P（A?B）=P（A）?P（B）

       如果事件A在一次試驗中發生的概率是P，那么

n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率

Pn(k)=CPk(1－P)n－k

 

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個選項中，只有

（1）設集合U={1，2，3，4，5}，集合M={0，3，5}，N={1，4，5}，則M∩（  U N）=

       （A）{5}                 （B）{0，3}            （C）{0，2，3，5} （D） {0，1，3，4，5}

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（2）函數的反函數為                                                                   

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       （A）                           （B）

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       （C）                          （D）

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（3）正三棱柱側面的一條對角線長為2，且與底面成45°角，則此三棱柱的體積為             （A）     （B）        （C）               （D）

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（4） 函數在處的導數等于                                                     （A）1   （B）2   （C）3   （D）4

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（5）為了得到函數的圖象，可以把函數的圖象                           （A）向左平移3個單位長度       （B）向右平移3個單位長度

       （C）向左平移1個單位長度                   （D）向右平移1個單位長度

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（6）等差數列中，，則此數列前20項和等于

       （A）160                 （B）180                 （C）200                 （D）220

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（7）已知函數的圖象有公共點A，且點A的橫坐標為2，則             （A）     （B） （C）                                （D）

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（8）已知圓C的半徑為2，圓心在軸的正半軸上，直線與圓C相切，則圓C的方程為                      

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（A）                     （B） 

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       （C）                     （D） 

（9） 從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到3個班擔任班主任（每班1位班任），要求這3位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方案共有   

（A）210種         （B）420種             （C）630種             （D）840種

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（10）函數的最小值等于                                    （A）－3      （B）－2       （C）－1     （D）－

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（11）已知球的表面積為20，球面上有A、B、C三點.如果AB=AC=BC=2，則球心到平面ABC的距離為                                                                       

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（A）1                   （B）                （C）                （D）2

（12）△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊.如果a、b、c成等差數列，

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       ∠B=30°，△ABC的面積為，那么b=                                                                （A）       （B）       （C）          （D）

 

第Ⅱ卷

 

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二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.

（13）展開式中的系數為              .

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（14）已知函數的最小正周期為3，則A=           .

（15）向量a、b滿足（a－b）?（2a+b）=－4，且|a|=2，|b|=4，則a與b夾角的余弦值等于

                 .

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（16）設滿足約束條件：

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則的最大值是                .

（17）（本小題滿分12分）

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三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

已知α為第二象限角，且 sinα=求的值.

（18）（本小題滿分12分）

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       已知數列{}為等比數列，

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（Ⅰ）求數列{}的通項公式；

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（Ⅱ）設是數列{}的前項和，證明

（19）（本小題滿分12分）

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       已知直線為曲線在點（1，0）處的切線，為該曲線的另一條切線，且

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（Ⅰ）求直線的方程；

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（Ⅱ）求由直線、和軸所圍成的三角形的面積.

 

 

（20）（本小題滿分12分）

（Ⅰ）求這名同學得300分的概率；

（Ⅱ）求這名同學至少得300分的概率.

 

 

（21）（本小題滿分12分）

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       某同學參加科普知識競賽，需回答3個問題.競賽規則規定：答對第一、二、三問題分別得100分、100分、200分，答錯得零分.假設這名同學答對第一、二、三個問題的概率分別為0.8、0.7、0.6，且各題答對與否相互之間沒有影響.

（Ⅰ）求四棱錐P―ABCD的體積；

（Ⅱ）證明PA⊥BD.

 

 

（22）（本小題滿分14分）

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       雙曲線的焦距為2c，直線過點（a，0）和（0，b），且點（1，0）到直線的距離與點（－1，0）到直線的距離之和求雙曲線的離心率e的取值范圍.

 

 

2004年普通高等學校招生全國統一考試

試題詳情

 

一、選擇題

（1）B     （2）C       （3）A      （4）D      （5）D      （6）B

（7）A     （8）D       （9）B      （10）C     （11）A     （12） B

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.

（13）28        （14）         （15）         （16）2

三、解答題

（17）本小題主要考查同角三角函數的基本關系式，二倍角公式以及三角函數式的恒等變形等基礎知識和基本技能.滿分12分.

解：

                      

   當為第二象限角，且時

   ，

所以=

（18）本小題主要考查等比數列的概念、前n項和公式等基礎知識，考查學生綜合運用基礎知識進行運算的能力.滿分12分.

解：（I）設等比數列{an}的公比為q，則a2=a1q, a5=a1q4.

                 a1q=6,

依題意，得方程組 a1q4=162.

解此方程組，得a1=2, q=3.

故數列{an}的通項公式為an=2?3n－1.

（II）

（19）本小題主要考查導數的幾何意義，兩條直線垂直的性質以及分析問題和綜合運算能力.滿分12分.

解：y′=2x+1.

直線l1的方程為y=3x－3.

設直線l2過曲線y=x2+x－2上 的點B（b, b2+b－2）,則l2的方程為y=(2b+1)x－b2－2

因為l1⊥l2，則有2b+1=

所以直線l2的方程為

（II）解方程組  得

所以直線l1和l2的交點的坐標為

l1、l2與x軸交點的坐標分別為（1，0）、.

所以所求三角形的面積

（20）本小題主要考查相互獨立事件同時發生的概率和互斥事件有一個發生的概率的計算方法，應用概率知識解決實際問題的能力.滿分12分.

   解：記“這名同學答對第i個問題”為事件，則

      P（A1）=0.8，P（A2）=0.7，P（A3）=0.6.

（Ⅰ）這名同學得300分的概率

      P1=P（A1A3）+P（A2A3）

        =P（A1）P（）P（A3）+P（）P（A2）P（A3）

        =0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6

        =0.228.

（Ⅱ）這名同學至少得300分的概率

     P2=P1+P（A1A2A3）

      =0.228+P（A1）P（A2）P（A3）

      =0.228+0.8×0.7×0.6

      =0.564.

（21）本小題主要考查棱錐的體積、二面角、異面直線所成的角等知識和空間想象能力、分析

   解：（Ⅰ）如圖1，取AD的中點E，連結PE，則PE⊥AD.

作PO⊥平面在ABCD，垂足為O，連結OE.

根據三垂線定理的逆定理得OE⊥AD，

所以∠PEO為側面PAD與底面所成的二面角的平面角，

由已知條件可知∠PEO=60°，PE=6，

所以PO=3，四棱錐P―ABCD的體積

VP―ABCD=

（Ⅱ）解法一：如圖1，以O為原點建立空間直角坐標系.通過計算可得

P（0，0，3），A（2，－3，0），B（2，5，0），D（－2，－3，0）

所以

因為 所以PA⊥BD.

解法二：如圖2，連結AO，延長AO交BD于點F.能過計算可得EO=3，AE=2，

得

所以  Rt△AEO∽Rt△BAD.

        得∠EAO=∠ABD.

        所以∠EAO+∠ADF=90°

   所以  AF⊥BD.

   因為  直線AF為直線PA在平面ABCD 內的身影，所以PA⊥BD.

（22）本小題主要考查點到直線距離公式，雙曲線的基本性質以及綜合運算能力.滿分12分.

  解：直線的方程為，即 

由點到直線的距離公式，且，得到點（1，0）到直線的距離

，

同理得到點（－1，0）到直線的距離

由   即   

于是得 

解不等式，得   由于所以的取值范圍是


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