2004年普通高等學校招生全國統一考試

理科數學（必修+選修Ⅱ）

 

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分. 共150分. 考試時間120分鐘.

 

第I卷（選擇題  共60分）

 

文本框: 球的表面積公式 S=4 其中R表示球的半徑， 球的體積公式 V= ， 其中R表示球的半徑 參考公式：

       如果事件A、B互斥，那么

P（A+B）=P（A）+P（B）

       如果事件A、B相互獨立，那么

P（A?B）=P（A）?P（B）

       如果事件A在一次試驗中發生的概率是P，那么

n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率

Pn(k)=CPk(1－P)n－k

 

一、選擇題 ：本大題共12小題，每小題6分，共60。

（2）已知函數                                                   （A）b   （B）－b       （C）       （D）－

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（3）已知a、b均為單位向量，它們的夾角為60°，那么|a+3b|=                                  （A）     （B）    （C）                               （D）4

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（4）函數的反函數是                                                                   （A）y=x2－2x+2(x<1)        （B）y=x2－2x+2(x≥1)

       （C）y=x2－2x  (x<1)                                                           （D）y=x2－2x  (x≥1)

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（5）的展開式中常數項是                                                                        （A）14 （B）－14     （C）42       （D）－42

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（6）設A、B、I均為非空集合，且滿足AB I，則下列各式中錯誤的是        

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（7）橢圓的兩個焦點為F1、F2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點為P，則=                                        

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（A）                 （B）                （C）                  （D）4

（8）設拋物線y2=8x的準線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l 的斜率的取值范圍是                                                                   

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（A）[－，]      （B）[－2，2]         （C）[－1，1]         （D）[－4，4]

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（9）為了得到函數的圖象，可以將函數的圖象                 （A）向右平移個單位長度       （B）向右平移個單位長度

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       （C）向左平移個單位長度                  （D）向左平移個單位長度

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（10）已知正四面體ABCD的表面積為S，其四個面的中心分別為E、F、G、H.設四面體EFGH的表面積為T，則等于                                                            

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       （A）                  （B）                  （C）                  （D）

（11）從數字1，2，3，4，5，中，隨機抽取3個數字（允許重復）組成一個三位數，其各位數字之和等于9的概率為                                                             

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       （A）               （B）               （C）               （D）

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（12）的最小值為                       （A）－     （B）－       （C）－－     （D）+

 

第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）

 

（13）不等式|x+2|≥|x|的解集是              .

（14）由動點P向圓x2+y2=1引兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，∠APB=60°，則動點P的軌跡方程為                    .

（15）已知數列{an}，滿足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，則{an}的通項

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二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.

            1,           n=1,

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      an=               ,n≥2.

（16）已知a、b為不垂直的異面直線，α是一個平面，則a、b在α上的射影有可能是        .

①兩條平行直線                                      ②兩條互相垂直的直線

③同一條直線                                          ④一條直線及其外一點

在一面結論中，正確結論的編號是                 （寫出所有正確結論的編號）.

（17）（本小題滿分12分）

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三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

求函數的最小正周期、最大值和最小值.

（18）（本小題滿分12分）

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一接待中心有A、B、C、D四部熱線電話，已知某一時刻電話A、B占線的概率均為0.5，電話C、D占線的概率均為0.4，各部電話是否占線相互之間沒有影響.假設該時刻有ξ部電話占線.試求隨機變量ξ的概率分布和它的期望.

 

 

 

 

 

 

 

（19）（本小題滿分12分）

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已知求函數的單調區間.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（20）（本小題滿分12分）

如圖，已知四棱錐 P―ABCD，PB⊥AD側面PAD為邊長等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°.

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（II）求面APB與面CPB所成二面角的大小.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（21）（本小題滿分12分）

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設雙曲線C：相交于兩個不同的點A、B.

（I）求雙曲線C的離心率e的取值范圍：

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（II）設直線l與y軸的交點為P，且求a的值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（22）（本小題滿分14分）

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已知數列，且

         a2k=a2k－1+(－1)k,

           a2k+1=a2k+3k,

其中k=1,2,3,…….

（I）求a3, a5；

（II）求{ an}的通項公式.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2004年普通高等學校招生全國統一考試

試題詳情

 

一、選擇題

（1）D     （2）B     （3）C     （4）B     （5）A     （6）B

（7）C     （8）C     （9）B     （10）A    （11）D    （12）B

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.

（13）{x|x≥－1}   （14）x2+y2=4    （15）    （16）①②④

三、解答題

（17）本小題主要考查三角函數基本公式和簡單的變形，以及三角函婁的有關性質.滿分12分.

解：

        

所以函數f(x)的最小正周期是π，最大值是，最小值是.

（18）本小題主要考查離散型隨機變量分布列和數學期望等概念.考查運用概率知識解決實際問題的能力.滿分12分.

解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.

    P(ξ=1)= ×0.52×0.62+ ×0.52×0.4×0.6=0.3

    P(ξ=2)=  ×0.52×0.62+×0.52×0.4×0.6+ ×0.52×0.42=0.37.

    P(ξ=3)= ×0.52×0.4×0.6+×0.52×0.42=0.2

    P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04

于是得到隨機變量ξ的概率分布列為：

ξ

0

1

2

3

4

P

0.09

0.3

0.37

0.2

0.04

所以Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.

（19）本小題主要考查導數的概率和計算，應用導數研究函數性質的方法，考查分類討論的數學思想.滿分12分.

解：函數f(x)的導數：

（I）當a=0時，若x<0，則<0，若x>0,則>0.

所以當a=0時，函數f(x)在區間（－∞，0）內為減函數，在區間（0，+∞）內為增函數.

（II）當

 由

所以，當a>0時，函數f(x)在區間（－∞，－）內為增函數，在區間（－，0）內為減函數，在區間（0，+∞）內為增函數；

（III）當a<0時，由2x+ax2>0，解得0<x<－,

由2x+ax2<0，解得x<0或x>－.

所以當a<0時，函數f(x)在區間（－∞，0）內為減函數，在區間（0，－）內為增函數，在區間（－，+∞）內為減函數.

（20）本小題主要考查棱錐，二面角和線面關系等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運算能力.滿分12分.

    ∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，

∵PA=PD，∴OA=OD，

于是OB平分AD，點E為AD的中點，所以PE⊥AD.

由此知∠PEB為面PAD與面ABCD所成二面角的平面角，

∴∠PEB=120°，∠PEO=60°

由已知可求得PE=

∴PO=PE?sin60°=，

即點P到平面ABCD的距離為.

（II）解法一：如圖建立直角坐標系，其中O為坐標原點，x軸平行于DA.

.連結AG.

所以

等于所求二面角的平面角，

于是

所以所求二面角的大小為  .

解法二：如圖，取PB的中點G，PC的中點F，連結EG、AG、GF，則AG⊥PB，FG//BC，FG=BC.

∴∠AGF是所求二面角的平面角.

∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.

又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.

在Rt△PEG中，EG=PE?cos60°=.

在Rt△PEG中，EG=AD=1.

于是tan∠GAE==,

又∠AGF=π－∠GAE.

所以所求二面角的大小為π－arctan.

（21）（本小題主要考查直線和雙曲線的概念和性質，平面向量的運算等解析幾何的基本思想和綜合解題能力.滿分12分.

解：（I）由C與t相交于兩個不同的點，故知方程組

有兩個不同的實數解.消去y并整理得

（1－a2）x2+2a2x－2a2=0.                   ①

雙曲線的離心率

（II）設

由于x1+x2都是方程①的根，且1－a2≠0，

（22）本小題主要考查數列，等比數列的概念和基本知識，考查運算能力以及分析、歸納和推理能力.滿分14分.

     解：（I）a2=a1+(－1)1=0,

              a3=a2+31=3.

           a4=a3+(－1)2=4,

           a5=a4+32=13,

    所以，a3=3,a5=13.

    (II)  a2k+1=a2k+3k

               = a2k－1+(－1)k+3k,

     所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k,

    同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1,

             ……

         a3－a1=3+(－1).

    所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1)

        =(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)],

    由此得a2k+1－a1=(3k－1)+[(－1)k－1],

    于是a2k+1= 

        a2k= a2k－1+(－1)k

          =(－1)k－1－1+(－1)k

          =(－1)k=1.

{an}的通項公式為：

    當n為奇數時，an­=

    當n為偶數時，

 


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