四川師大附中高2006屆高三數學總復習（三）

§3. 數 列  知識要點

等差數列

等比數列

定義

遞推公式

；

；

通項公式

（）

中項

（）

（）

前項和

重要性質

1. ⑴等差、等比數列：

⑵看數列是不是等差數列有以下三種方法：

①

②2()

③(為常數).

⑶看數列是不是等比數列有以下四種方法：

①

②(，)^①

注①：i. ，是a、b、c成等比的雙非條件，即a、b、c等比數列.

ii. （ac＞0）→為a、b、c等比數列的充分不必要.

iii. →為a、b、c等比數列的必要不充分.

iv. 且→為a、b、c等比數列的充要.

注意：任意兩數a、c不一定有等比中項，除非有ac＞0，則等比中項一定有兩個.

③(為非零常數).

④正數列{}成等比的充要條件是數列{}（）成等比數列.

⑷數列{}的前項和與通項的關系：

[注]： ①（可為零也可不為零→為等差數列充要條件（即常數列也是等差數列）→若不為0，則是等差數列充分條件）.

②等差{}前n項和  →可以為零也可不為零→為等差的充要條件→若為零，則是等差數列的充分條件；若不為零，則是等差數列的充分條件. 

③非零常數列既可為等比數列，也可為等差數列.（不是非零，即不可能有等比數列）

2. ①等差數列依次每k項的和仍成等差數列，其公差為原公差的k²倍；

②若等差數列的項數為2，則；

③若等差數列的項數為，則，且，

 .     

3. 常用公式：①1+2+3 …+n =   

②   

③

[注]：熟悉常用通項：9，99，999，…； 5，55，555，….

4. 等比數列的前項和公式的常見應用題：

⑴生產部門中有增長率的總產量問題. 例如，第一年產量為，年增長率為，則每年的產量成等比數列，公比為. 其中第年產量為，且過年后總產量為：

⑵銀行部門中按復利計算問題. 例如：一年中每月初到銀行存元，利息為，每月利息按復利計算，則每月的元過個月后便成為元. 因此，第二年年初可存款：

=.

⑶分期付款應用題：為分期付款方式貸款為a元；m為m個月將款全部付清；為年利率.

5. 數列常見的幾種形式：

⑴（p、q為二階常數）用特證根方法求解.

具體步驟：①寫出特征方程（對應，x對應），并設二根②若可設，若可設；③由初始值確定.

⑵（P、r為常數）用①轉化等差，等比數列；②逐項選代；③消去常數n轉化為的形式，再用特征根方法求；④（公式法），由確定.

①轉化等差，等比：.

②選代法：

.

③用特征方程求解：.

④由選代法推導結果：.

6. 幾種常見的數列的思想方法：

⑴等差數列的前項和為，在時，有最大值. 如何確定使取最大值時的值，有兩種方法：

一是求使，成立的值；二是由利用二次函數的性質求的值.

⑵如果數列可以看作是一個等差數列與一個等比數列的對應項乘積，求此數列前項和可依照等比數列前項和的推倒導方法：錯位相減求和. 例如：

⑶兩個等差數列的相同項亦組成一個新的等差數列，此等差數列的首項就是原兩個數列的第一個相同項，公差是兩個數列公差的最小公倍數.