四川師大附中高2006屆高三數學總復習（十四）實驗修訂版

§14. 復 數  知識要點

1. ⑴復數的單位為i，它的平方等于－1，即.

⑵復數及其相關概念：

①      復數―形如a + bi的數（其中）；

②      實數―當b = 0時的復數a + bi，即a；

③      虛數―當時的復數a + bi；

④      純虛數―當a = 0且時的復數a + bi，即bi.

⑤      復數a + bi的實部與虛部―a叫做復數的實部，b叫做虛部（注意a，b都是實數）

⑥      復數集C―全體復數的集合，一般用字母C表示.

⑶兩個復數相等的定義：

.

⑷兩個復數，如果不全是實數，就不能比較大小.

注：①若為復數，則若，則.（×）[為復數，而不是實數]

若，則.（√）

②若，則是的必要不充分條件.（當，

時，上式成立）

2. ⑴復平面內的兩點間距離公式：.

其中是復平面內的兩點所對應的復數，間的距離.

由上可得：復平面內以為圓心，為半徑的圓的復數方程：.

⑵曲線方程的復數形式：

①為圓心，r為半徑的圓的方程.

②表示線段的垂直平分線的方程.

③為焦點，長半軸長為a的橢圓的方程（若，此方程表示線段）.

④表示以為焦點，實半軸長為a的雙曲線方程（若，此方程表示兩條射線）.

⑶絕對值不等式：

設是不等于零的復數，則

①.

左邊取等號的條件是，右邊取等號的條件是.

②.

左邊取等號的條件是，右邊取等號的條件是.

注：.

3. 共軛復數的性質：

，（a + bi）              

（）                              

注：兩個共軛復數之差是純虛數. （×）[之差可能為零，此時兩個復數是相等的]

4. ⑴①復數的乘方：

②對任何，及有

③ 

注：①以上結論不能拓展到分數指數冪的形式，否則會得到荒謬的結果，如若由就會得到的錯誤結論.

②在實數集成立的. 當為虛數時，，所以復數集內解方程不能采用兩邊平方法.

⑵常用的結論：

若是1的立方虛數根，即，則                                                  .

5.  ⑴復數是實數及純虛數的充要條件：

①.

②若，是純虛數.

⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起點在哪里，都認為是相等的，而相等的向量表示同一復數. 特例：零向量的方向是任意的，其模為零.

注：.

6. ⑴復數的三角形式：.

輻角主值：適合于0≤＜的值，記作.

注：①為零時，可取內任意值.

②輻角是多值的，都相差2的整數倍.

③設則.

⑵復數的代數形式與三角形式的互化：

，，.

⑶幾類三角式的標準形式：

7. 復數集中解一元二次方程：

在復數集內解關于的一元二次方程時，應注意下述問題：

①當時，若＞0，則有二不等實數根；若=0，則有二相等實數根；若＜0，則有二相等復數根（為共軛復數）.

②當不全為實數時，不能用方程根的情況.

③不論為何復數，都可用求根公式求根，并且韋達定理也成立.

8. 復數的三角形式運算：

棣莫弗定理：.