江蘇省揚州中學2005―2006學年度第一學期期中考試
高二數學試卷
txjy
一 、選擇題（每題5分）
1．下列各對雙曲線中，既有相同的離心率，又有相同漸近線的是txjy
A．
與
B．與
C．與
D．與
2．已知
為橢圓
上三點，若
與三點
、
、
的距離為等差數列，則
的值為txjy
A．
B．
C．
D．
3．某曲線
的一條準線方程是
，則
的值為txjy
A．
B．
C．
D．
4．已知方程
表示兩條直線，則這兩條直線的夾角是txjy
A．0° B．45° C．90° D．135°
5．直線
與圓
交于P、Q兩點，O為坐標原點，則△POQ的面積等于txjy
A．
B．
C．
D．
6．直線
與兩直線
和
分別相交于P、Q兩點，若PQ的中點為R（1，－1），則直線的斜率屬于下列哪個區間txjy
A．（－∞，－1] B．[0，1]
C．[－1，0] D．[1，+∞
7．與點P（1，－1）相距為5，且到y軸的距離等于4的點的個數是
A．2
B．
8．四條直線
圍成的圖形是txjy
A．長方形 B．正方形 C．菱形 D．梯形
9．一動圓與圓
外切，同時與圓
內切，則動圓圓心的軌跡為
A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線的一支
10．已知橢圓
的一條弦所在直線方程是
，弦的中點坐標是
，則橢圓的離心率是txjy
A．
B．
C．
D．
11．邊長為5的菱形，它的一條對角線長不大于6，另一條不小于6，則這個菱形兩條對角線長之和的最大值是
A．
B．
D．12
12．長軸為
的橢圓上有動點
（與
不重合，
為左，
為右），直線
交右準線于
，
，
是橢圓右焦點，則
等于
A．45° B．60° C．90° D．120°
二、填空題（每題4分）
13．A、B兩質點的質量分別為
14．等軸雙曲線xy = k（k為非零常數）的漸近線方程為______________．
15．已知
，點
滿足
，則
_________．
16．在橢圓
中
，
為過左焦點
的弦，且
，則橢圓的離心率
____________．
17．雙曲線
左右頂點為
，
為右支上一點，且
，則
__________度．
18．關于曲線C：
的下列說法：⑴關于點（0，0）對稱，⑵關于直線
對稱，⑶是封閉圖形，面積小于
，⑷是封閉圖形，面積大于，⑸不是封閉圖形，無面積可言，其中正確的序號是_________________．
三、解答題（19―22每題13分，23題14分）
19．直線
是
中
的平分線所在的直線，若
、
坐標分別為
，
，判斷形狀，并求面積．
20．雙曲線與橢圓在
軸上有公共焦點，若橢圓焦距為
，它們的離心率是方程
的兩根，求雙曲線和橢圓的標準方程．
21．已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，它的一個焦點為
，
是橢圓上的任意點，
的最大值和最小值的積為4，橢圓上存在以為軸的對稱點
和
，且
，求橢圓的方程．
22．已知定點
，過點的直線
交半圓 
≥0
于P、Q兩點，線段PQ中點為M，直線
交軸于
．
⑴若點位于點右側，試求直線的斜率
的取值范圍．
⑵若半圓的圓心為D，在⑴的條件下，△PDQ能否為正三角形？
23．橢圓
的中心在原點0，它的短軸長為
，右焦點為
，右準線與軸相交于點A，并且
．
⑴求橢圓的方程．
⑵過橢圓的左焦點
作一條與兩坐標軸都不垂直的直線
，交橢圓于，
兩點，若軸上的某一點能使得
為
的平分線，則稱點是橢圓的“左特征點”，求出此橢圓的“左特征點”的坐標．
⑶請根據上面的結論猜想：橢圓
的“左特征點”是怎樣的點？并證明你的結論。
四、附加題（10分，計入總分，但總分不得超過150分）
24．下面的圖形既可看作是圓的一部分，也可以看作是橢圓的一部分，也可以看作是雙曲線某一支的一部分，且只能是上述中的某一種你現有直尺、圓規和筆，你如何判斷它們是上述曲線中的哪一類，寫出判斷的方法和依據．
一、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
C
C
A
C
B
C
C
B
B
C
二、填空題
13．（
） 14．x=0或y=0 15．4 16．2／3 17．20 18．①④
三、解答題
19．解：A（―4，2）關于直線：
對稱的點為
，因為直線是
中
的平分線，可以點
在直線
上，故直線的方程是
，由
，
，則
是以
為直角的三角形，
，
10
20．解：由
，
，設雙曲線方程為
，橢圓方程為
，它們的焦點
，則
，又
，
，
雙曲線方程為
，橢圓方程為
21．解：
，設橢圓方程為
①，設過
和
的直線方程為
②，將②代入①得
－
③，設
，
的中點為
代入
，
，
，由③
，
，解得
22．解：⑴設直線方程為：
代入
，得
，另知直線與半圓相交的條件為
，設
，則
，
，點位于的右側，應有
，即
，
（亦可求出的橫坐標
）
⑵若
為正
，則點
到直線距離
與
矛盾，
在⑴條件下不可能是正△．
23．⑴由題意設橢圓方程為：，則
解得： 
，所以橢圓方程為：
⑵設“左特征點”
，設
，
為
的平分線，
，
，下面設直線
的方程為
，代入得：
，
代入上式得
解得
⑶橢圓
的“左特征點”M是橢圓的左準線和x軸的交點證明如下：
證明：設橢圓的左準線與x軸相交于點M，過點A、B分別作的垂線，垂足分別為點C、D。據橢圓第二定義得
，
∵
∥
∥
，∴
，
∴
∵
與
均為銳角，∴
。
∴
。∴
為
的平分線。故點為橢圓的“左特征點”。
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