1. m和n都是正整數,a1,a2,...,am是{1,2,...,n}中不同的數,只要有ai +aj≤ n(i,j可能相同)那么就有某個k使ai +aj=ak,
求證(a1+...+am)/m≥(n+1)/2。
2. △ABC是等腰三角形,AB=AC,M是BC的中點,O是線AM上的點且OB⊥AB,Q為線段BC上不同于B,C 的任意一點,E,F分別在AB,AC上使得E,Q,F不同并共線。
求證:OQ⊥EF當且僅當QE=QF。
3. 對任何正整數k,定義f(k)為集合{k+1,k+2,...,2k}中的用二進制表示后恰有3個1的元素的個數,
求證對于每個正整數m,存在至少一個k使f(k)=m;并求出使得恰有一個k的所有m值。
4. 試求出所有的正整數對(m,n)使得(n3+1)/(mn-1)是整數。
5. S是所有大于-1的實數集,試找出所有的從S到S的函數f滿足對所有x,y,f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x),并且對于-1<x<0和0<x,f(x)/x使嚴格遞增的。
6. 試證明存在滿足下列性質的正整數集合A:對任何由素數構成的無限集S,都有k≥2以及兩個正整數m,n,m ∈A, n不∈A,m和n都是S中k個不同元素的乘積。
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