保密★啟用前【考試時間：2007年11月1日下午3：00―5；00】
四川省綿陽市高中2007級第一次診斷性考試
數 學（理工類）
本試卷分試題卷和答題卷兩部分。第1卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共4頁。全卷共150分。第1卷答案涂在答題卡上，第Ⅱ卷答案寫在答題卷上。
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
注意事項：
1．答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目用4B或5B鉛筆填寫在答題卡上。
2．每小題選出答案后，用4B或5B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答萎，不能答在試卷上。
3．參考公式：
如果事件A、B互斥，那么 P（A＋B）＝P（A）＋P（B）；
如果事件A、B相互獨立，那么 P（A?B）＝P（A）? P（B）；
如果事件A在一次試驗中發生的概率是P，那么n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率：Pn（k）＝?Pk?（1－P）n－k
正棱錐、圓錐的側面積公式：
錐側＝
球的體積公式V＝πR3其中R表示球 的半徑
對數換底公式:
0<a
,m ≠ 1,N > 0
一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，把它選出來填涂在答題卡上。
1．右圖中陰影部分表示的集合是
A．
B．
C．（） D．（
）
2．用反證法證明命題：若P則q ，其第一步是反設命題的結論不成立，這個正確的反設是
A．若P則非q B．若非P則q C．非P D．非q
3．已知數列｛an｝的通項公式為
則｛an｝的最大項是
A．a1 B．a2 C．a3 D．a4
4．右圖是一個樣本容量為50的樣本頻率分布直方圖，據此估計數據落在[15.5，24.5]的概率約為
A．36%
B．46%
C．56%
D．66%
5．在點 x = a 處連續的是
6．設a> 0，a≠ 1，若y = ax的反函數的圖象經過點
，則a=
A．16 B．2 C．
D．4
7．若函數f（x）的圖象經過點 A 、（
） B、（1，0）， C、（2，-1），則不能作為函數f（x）的解析式的是
A．
B．
C．
D．
8．計算：
A．不存在 B．8 C．-8 D．18
9．函數
的圖象大致是
10．對數函數
和
的圖象如圖所示，則a 、b的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
11．已知復數 z ，條件P：“
”是條件q：“ 
”的
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
12．函數
及其反函數的圖象與函數
的圖象交于A、B兩點，若
，則實數a的值等于（精確到0.1 ，參考數據 lg2.414 ≈
0.3827 lg 8.392 ≈ 0.9293 lg 8.41 ≈ 0.9247 ）
A．3.8 B．4.8 C．8.4 D．9.2
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在答題卡相應位置上。
13．寫出一個解集為｛xㄏ- 6＜ x ＜ 1 ｝且形如ㄏax + bㄏ＜ c 的絕對值不等式 。
14．化簡：
_____________
15．某路段檢查站監控錄象顯示，在某時段內，有1000輛汽車通過該站，現在隨機抽取其中的200輛汽車進行車速分析，分析的結果表示為如下的頻率分布直方圖，則估計在這一時段內通過該站的汽車中車速度不小于
取整數）。
16．若存在正實數x ，使不等式
恒成立，則實數k的取值范圍是 。
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17．（本小題滿分12分）
解不等式：
18．（本小題滿分12分）
設
，用數學歸納法證明：
（
且
）
19．（本小題滿分12分）商品營銷中，商品的質量與它的利潤直接相關。某電器商店發現某種型號的函數計數器的周銷售量與每臺的利潤間的一次函數關系如圖所示。問：周銷售量為多少時，可使商店獲得的利潤最大？（結果精確到 0.1）。
20．（本小題滿分12分）
有甲、乙兩種棉花，從中各抽取等量的樣品進行檢驗，結果如下（其中ξ表示纖維長度，單位：nm ）
ξ甲
28
29
30
31
32
P
0.14
a
0.36
0.18
0.14
ξ乙
28
29
30
31
32
P
0.12
0.2
b
0.2
0.12
（1） 求a、b的值；
（2） 計算ξ甲 、 ξ乙 的期望與方差，并說明甲、乙兩種棉花的質量情況。
21．（本小題滿分12分）
在△ABC中，∠C = 90o ,BC
= 1.以A為圓心，AC為半徑畫弧交AB于D，在由弧CD與直線段BD、BC所圍成的范圍內作內接正方形EFGH（如圖）。設AC = x，EF = y ，
（1）求y與x的函數關系式；
（2）正方形EFGH的面積是否有最大值？試證明你的結論。
22．（本小題滿分14分）
已知函數
（1）若干
，求證：
（2）是否存在實數
，是方程
有四個不同的實根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。
一、選擇題：本答題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，把它選出來填涂在答題卡上。
1．A
2．D 對“若
則
”的否定已經不是“四種命題”中的任何一種，而是表示“合取”命題；且非，即反設命題的結論不成立為非，選D。
3．B 因為
，所以，當
時，分母
最小，從而
最大為2，選B。
4．C
5．B 設等差數列
的前三項為
（其中
），則
于是它的首項是2，選B
6．D 因為
的反函數的圖像經過點
，所以函數的圖像經過點
，于是
，解得
，選D
7．D 在直角坐標系中較準確地作出點A、B、C，并結合代值驗證，可知A、C兩點的坐標不滿足選擇支D的解析式，選D。
8．C 因為分母的極限為零，不能直接使用商的極限運算法則，但這里分子的極限也是零，分子、分母極限之所以為零，就式因為分子、分母都包含有
的因子，先把零因式消去，然后再求極限，得
，選C。
9．A 函數的定義域為（0，+
），當
≥1時，
≥0，有
；當
時，
，有
，選A。
10．B 根據圖像可知，當
時，函數圖像從左到右是上升的，表明對數函數是增函數，∴a、b均大于1，排除C、D。于是取＝2，得
，有
，選B.
11．A 由
可得
和
。容易驗證
，即
。而滿足條件：“
”的附屬
不一定滿足條件：“”，比如取
，即
。選A.
12．C 設
，則B
,有
，∴
。由于A、B兩點在函數
的圖象上，則
＝1，∴
，而點A又在函數
的圖像上，∴
，得
，有
，于是
，選C。
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上。
13．
或
等。
14．原式＝
。
15．由圖知車速小于
16．原不等式等價于
，令
，則
，當時，
，當
時，
。故
∴
，∴
。
三、解答題：本答題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或驗算步驟。
17．（本題滿分12分）
解法一 原不等式等價于
或
………………12分
解法二 原不等式等價于
或
或
說明 本題是教材第一冊上
頁習題1.5第5題：解不等式
的改變，這是關于的二次雙連不等式，若轉化為兩個二次不等式組成的不等式組來解時，只要善于正確因式分解，數軸標根，也能快速解決。
18．（本題滿分12分）
（1）當時，等式左邊＝
，右邊＝
，所以對n＝2時，等式成立�！�2分
（2）假設當
時，等式成立，即
，則對n＝k+1時，
，而
）＝
＝
＝
，表明
時，等式成立。
………………10分
由（1），（2）可知對一切
的自然數等式都成立。
…………12分
19．（本題滿分12分）
設表示每臺的利潤，y表示周銷售量，則
經過了點（20，0），（0，35），
∴
解得
………………4分
即
或
，其中
因此，商店一周中所獲利潤總額為：
每臺利潤×銷售量＝
＝
………8分
由于y是正整數，所以當周銷售量為y＝17或18時，利潤總額最大，為
元，此時
元或10.3元。
………………12分
20．（本小題滿分12分）
（1）由
得a＝0.18，
得b＝0.36
………………4分
（2）甲種棉花纖維長度的期望為
甲 ＝28×0.14+29×0.18+30×0.36+31×0.18+32×0.14＝30
乙 ＝28×0.12+29×0.2+30×0.36+31×0.2+32×0.14＝30
………8分
甲＝
乙＝
由于甲>乙，即乙種棉花纖維長度的方差小些，所以乙種棉花的質量較好些（纖維長度比較均勻）………………12分
說明：本題是選修教材17頁8題的改編。
21．（本題滿分12分）
（1）延長FE與AB交于點P，則
∵EP//BC，∴
∽
，
∴
，即
，∴
，
…………2分
在直角三角形AEP中，
，
，
，
由勾股定理，得
（*）
即
。
………………6分
∵
∴（*）式成立的充要條件是
，
所以y與x的函數關系式為
， ……8分
（2）因為
，等號當且僅當
，即
時取得，
………10分
所以正方形
的面積
當
時取得最大值
………12分
若由
得
,
所以
即
，
等式右端分子有理化，得
∴
∵
∴
，
整理，得
與的函數關系式為
（
）
22．（本題滿分14分）
（1）令
，
則
……3分
因，∴
，故函數
在
上是增函數。
又在
處連續，所以，函數在
上是增函數。
∴時，
即
………………6分
（2）令
……8分
則
令
，則
，-1，1。
…10分
當x變化時，
、
的變化關系如下表：
（―1，0）
0
（0，1）
1
―
0
+
0
―
0
+
極小值
極大值0
極小值
據此可畫出的簡圖如下，…………12分
故存在
，使原方程有4各不同實根�！�14分
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