寧波市2008學年度第一學期期末試卷
高三數學(文科)
說明:本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,共150分.
考試時間120分鐘.
第Ⅰ卷(共50分)
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.已知全集,集合
,
,則
A. B.
C.
D.
2.下列函數中,在區間上為增函數且以
為周期的函數是
A. B.
C.
D.
3.如果復數的實部和虛部相等,則實數
等于
A.
B.
C.
D.
4.名工人某天生產同一零件,生產的件數是
設其平均數為
,中位數為
,眾數為
,則有
A. B.
C.
D.
5.在一個邊長為2的正方形中隨機撒入200粒豆子,恰有120粒落在陰影區域內,則該陰影部分的面積約為
A.
B.
C.
D.
6.在等比數列中,
,前
項和為
,若數列
也是等比數列,則
等于
A.
B.
C.
D.
7.如圖,水平放置的三棱柱的側棱長和底邊長均為2,且側棱平面
,正視圖如圖所示,俯視圖為一個等邊三角形,則該三棱柱的側視圖面積為
A. B.
C.
D.
8.設、
是兩個不同的平面,
為兩條不同的直線,命題p:若平面
,
,
,則
;命題q:
,
,
,則
,則下列命題為真命題的是
A.p或q B.p且q C.┐p或q D.p且┐q
9.若直線被圓
截得的弦長為4,則
的最小值是
A.4 B.
D.
10.如圖,一只青蛙在圓周上標有數字的五個點上跳,若它停在奇數點上,則下一次沿順時針方向跳兩個點;若停在偶數點上,則下一次沿逆時針方向跳一個點.若青蛙從
這點開始跳,則經2009次跳后它停在的點所對應的數為
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷(非選擇題 共100分)
二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分。
12.若拋物線的焦點與雙曲線
的左焦點
重合,則的值 ▲ .
13.如圖,函數
的圖象是折線段
,其中
的坐標分別為
,則
▲ .
14.設實數、
滿足條件
,則
的最大值
為 ▲ .
15.若是偶函數,則有序實數對(
)可以是
▲ .(寫出你認為正確的一組數即可).
16.已知在平面直角坐標系中,為原點,且
(其中
均為實數),若N(1,0),則
的最小值是 ▲ .
17.在平面幾何中,有射影定理:“在中,
, 點
在
邊上的射影為
,有
.”類比平面幾何定理,研究三棱錐的側面面積與射影面積、底面面積的關系,可以得出的正確結論是:“在三棱錐
中,
平面
,點
在底面
上的射影為
,則有 ▲ .”
三、解答題:本大題共5小題,共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
18.(本小題滿分14分) 在棱長為的正方體
中,
為棱
的中點.
(Ⅰ)求證:平面
; (Ⅱ)求
與平面
所成角的余弦值.
19.(本小題滿分14分) 在等差數列中,
,
.
(Ⅰ)求數列的通項
;
(Ⅱ)令,證明:數列
為等比數列;
(Ⅲ)求數列的前
項和
.
20.(本題滿分14分)已知函數,
,設
.
(Ⅰ)當時,求函數
的單調區間;
(Ⅱ)若以函數圖象上任意一點
為切點的切線斜率
恒成立,求實數
的最小值.
21.(本小題滿分15分)
如圖,位于處的信息中心獲悉:在其正東方向相距
海里的
處有一艘漁船遇險,在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西
、相距
海里的
處的乙船,現乙船朝北偏東
的方向沿直線CB前往
處救援,求
的值.
22.(本題15分)如圖,橢圓長軸端點為,
為橢圓中心,
為橢圓的右焦點,
且
,
.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)記橢圓的上頂點為,直線
交橢圓于
兩點,問:是否存在直線
,使點
恰為
的垂心?若存在,求出直線
的方程;若不存在,請說明理由.
2008學年度第一學期期末試卷
高三數學(文科)答案
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
D
B
C
B
C
A
B
題號
答案
題號
答案
11
二、填空題:(每小題4分,共28分)
12
13
14
15
只要a+b=0即可,可以取a=1,b=-1
16
17
三、解答題:(本題共5大題,共72分)
18. (Ⅰ)(略證):只需證即可。 ……6分
(Ⅱ)連接,由正方體的幾何性質可得
即為
在底面
上的射影,則
即為
與平面
所成角. …… 10分
在中,
,
則
所以與平面
所成角的余弦值為
. …… 14分
19. (Ⅰ)由,得方程組
,
解得
……4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,
是首項是4,公比
的等比數列。 ……9分
(Ⅲ) 由
得:
相減可得:
……14分
20.解:(Ⅰ)由已知可得,函數的定義域為
則
由可得
在區間
上單調遞增,
得
在
上單調遞減
……6分
(Ⅱ)由題意可知對任意
恒成立
即有對任意
恒成立,即
令
則,即實數
的最小值為
; ……14分
21.如題圖所示,在中,
,
由余弦定理知
……5分
由正弦定理……10分
由,則
為銳角,
.
由,
則……15分
22. 解:(1)設橢圓方程為
由題意
又∵即
∴ 故橢圓方程為
…………6分
(2)假設存在直線交橢圓于
兩點,且
恰為
的垂心,則
設,∵
,故
……………8分
于是設直線為
,由
得
…………10分
∵ 又
得 即
由韋達定理得
解得或
(舍) 經檢驗
符合條件
則直線的方程為:
………15分
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