寧波市2008學年度第一學期期末試卷

高三數學(文科)

說明:本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,共150分.

考試時間120分鐘.

第Ⅰ卷(共50分)

一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.

1.已知全集,集合,,則

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   A.     B.     C.     D.

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2.下列函數中,在區間上為增函數且以為周期的函數是

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A.   B.   C.  D.

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3.如果復數的實部和虛部相等,則實數等于

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A.           B.             C.            D.

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4.名工人某天生產同一零件,生產的件數是設其平均數為,中位數為,眾數為,則有

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A.    B.      C.     D.

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5.在一個邊長為2的正方形中隨機撒入200粒豆子,恰有120粒落在陰影區域內,則該陰影部分的面積約為

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   A.            B.

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C.            D.

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6.在等比數列中,,前項和為,若數列也是等比數列,則等于

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A.        B.               C.             D.

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7.如圖,水平放置的三棱柱的側棱長和底邊長均為2,且側棱平面,正視圖如圖所示,俯視圖為一個等邊三角形,則該三棱柱的側視圖面積為

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A.       B.      C.      D.

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8.設是兩個不同的平面,為兩條不同的直線,命題p:若平面,,,則;命題q:,,則,則下列命題為真命題的是   

A.p或q           B.p且q     C.┐p或q    D.p且┐q

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9.若直線被圓截得的弦長為4,則的最小值是                                  

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A.4       B.2              C             D.

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10.如圖,一只青蛙在圓周上標有數字的五個點上跳,若它停在奇數點上,則下一次沿順時針方向跳兩個點;若停在偶數點上,則下一次沿逆時針方向跳一個點.若青蛙從這點開始跳,則經2009次跳后它停在的點所對應的數為

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A.          B.         C.        D.

 

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     第Ⅱ卷(非選擇題 共100分)

 

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二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分。

12.若拋物線的焦點與雙曲線的左焦點

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重合,則的值   ▲   .

 

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13.如圖,函數的圖象是折線段,其中的坐標分別為,則

   .

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14.設實數、滿足條件,則的最大值

 ▲  .

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15.若是偶函數,則有序實數對()可以是

    ▲    .(寫出你認為正確的一組數即可).

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16.已知在平面直角坐標系中,為原點,且(其中均為實數),若N(1,0),則的最小值是    ▲    .

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17.在平面幾何中,有射影定理:“在中,, 點邊上的射影為,有.”類比平面幾何定理,研究三棱錐的側面面積與射影面積、底面面積的關系,可以得出的正確結論是:“在三棱錐中,平面,點在底面上的射影為,則有  ▲  .”

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三、解答題:本大題共5小題,共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

18.(本小題滿分14分) 在棱長為的正方體中,為棱的中點.

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 (Ⅰ)求證:平面;   (Ⅱ)求與平面所成角的余弦值.

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19.(本小題滿分14分) 在等差數列中,,.

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(Ⅰ)求數列的通項

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(Ⅱ)令,證明:數列為等比數列;

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(Ⅲ)求數列的前項和.

 

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20.(本題滿分14分)已知函數,,設.

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(Ⅰ)當時,求函數的單調區間;

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(Ⅱ)若以函數圖象上任意一點為切點的切線斜率

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恒成立,求實數的最小值.

 

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21.(本小題滿分15分)

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如圖,位于處的信息中心獲悉:在其正東方向相距海里的處有一艘漁船遇險,在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西、相距海里的處的乙船,現乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往處救援,求的值.

 

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22.(本題15分)如圖,橢圓長軸端點為,為橢圓中心,為橢圓的右焦點,

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.

(Ⅰ)求橢圓的標準方程;

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(Ⅱ)記橢圓的上頂點為,直線交橢圓于兩點,問:是否存在直線,使點恰為的垂心?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2008學年度第一學期期末試卷

高三數學(文科)答案

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

D

B

C

B

C

A

B

題號

答案

題號

答案

11

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二、填空題:(每小題4分,共28分)

12

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13

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14

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15

只要a+b=0即可,可以取a=1,b=-1

16

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17

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三、解答題:(本題共5大題,共72分)         

18. (Ⅰ)(略證):只需證即可。      ……6分

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   (Ⅱ)連接,由正方體的幾何性質可得即為在底面上的射影,則即為與平面所成角.      …… 10分

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中,,

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所以與平面所成角的余弦值為.  …… 14分

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19. (Ⅰ)由,得方程組,

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解得

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                            ……4分

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(Ⅱ)由(Ⅰ)得,

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是首項是4,公比的等比數列。          ……9分

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(Ⅲ) 由

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 得:                            

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相減可得:

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                      ……14分

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20.解:(Ⅰ)由已知可得,函數的定義域為

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可得在區間上單調遞增,

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上單調遞減           ……6分

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(Ⅱ)由題意可知對任意恒成立 

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即有對任意恒成立,即  

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,即實數的最小值為;             ……14分

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21.如題圖所示,在中,,

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由余弦定理知

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                               ……5分

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由正弦定理……10分

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,則為銳角,.

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……15分

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22. 解:(1)設橢圓方程為

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由題意

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又∵

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    故橢圓方程為   …………6分

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 (2)假設存在直線交橢圓于兩點,且恰為的垂心,則

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,∵,故   ……………8分

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于是設直線,由

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     …………10分

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  即

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  由韋達定理得

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解得(舍)  經檢驗符合條件

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則直線的方程為:………15分

 

 

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